منحنی های بیضوی از جمله اشیاء فریبنده تر در ریاضیات مدرن هستند. آنها پیچیده به نظر نمی رسند، اما یک راه سریع بین ریاضیاتی هستند که بسیاری از مردم در دبیرستان می آموزند و ریاضیات را در بدترین حالت آن تحقیق می کنند. آنها برای اثبات مشهور آخرین قضیه فرما توسط اندرو وایلز در دهه 1990 نقش اساسی داشتند. آنها ابزارهای کلیدی در رمزنگاری مدرن هستند. و در سال 2000 مؤسسه ریاضیات Clay به نام a حدس در مورد آمار از منحنی‌های بیضوی یکی از هفت «مسئله جایزه هزاره»، که هر کدام یک میلیون دلار جایزه برای حل آن دارند. این حدس، برای اولین بار توسط برایان توس و پیتر سوینرتون-دایر در دهه 1960، هنوز ثابت نشده است.

درک منحنی های بیضوی یک تلاش پرمخاطب است که در ریاضیات نقش اساسی داشته است. بنابراین در سال 2022، زمانی که یک همکاری فراآتلانتیکی از تکنیک‌های آماری و هوش مصنوعی برای کشف الگوهای کاملاً غیرمنتظره در منحنی‌های بیضوی استفاده کرد، اگر غیرمنتظره بود، یک مشارکت خوشایند بود. گفت: «فقط یک مسئله زمان بود که یادگیری ماشینی با چیزی جالب در آستانه درب ورودی ما قرار گرفت پیتر سارناک، ریاضیدان مؤسسه مطالعات پیشرفته و دانشگاه پرینستون. در ابتدا، هیچ کس نمی توانست توضیح دهد که چرا الگوهای تازه کشف شده وجود دارند. از آن زمان، در مجموعه ای از مقالات اخیر، ریاضیدانان شروع به کشف دلایل پشت این الگوها کرده اند، که به دلیل شباهت آنها به شکل های سیال گله های سار، "زمزمه" نامیده می شود، و شروع به اثبات کرده اند که آنها باید نه تنها در موارد خاص رخ دهند. نمونه هایی در سال 2022 مورد بررسی قرار گرفتند، اما در منحنی های بیضوی به طور کلی تر.

اهمیت بیضوی بودن

برای اینکه بفهمیم آن الگوها چیست، باید مقدمات کمی در مورد اینکه منحنی های بیضوی چیست و ریاضیدانان چگونه آنها را دسته بندی می کنند، ایجاد کنیم.

یک منحنی بیضوی مربع یک متغیر را که معمولاً به صورت نوشته می شود، مرتبط می کند y، به توان سوم دیگری که معمولاً به صورت نوشته می شود x: y² = x³ + Ax + B، برای چند جفت اعداد A و B، تا زمانی که A و B رعایت چند شرط ساده این معادله منحنی را تعریف می‌کند که می‌توان آن را روی صفحه ترسیم کرد، همانطور که در زیر نشان داده شده است. (با وجود شباهت در نام ها، بیضی یک منحنی بیضوی نیست.)

اگرچه منحنی‌های بیضوی ساده به نظر می‌رسند، اما برای نظریه‌پردازان اعداد - ریاضیدانانی که به دنبال الگوهایی در اعداد صحیح هستند - ابزار فوق‌العاده قدرتمندی هستند. به جای اجازه دادن به متغیرها x و y در محدوده همه اعداد، ریاضیدانان دوست دارند آنها را به سیستم های اعداد مختلف محدود کنند، که آنها آن را تعریف منحنی "بیش از" یک سیستم عددی معین می نامند. منحنی های بیضوی محدود به اعداد گویا - اعدادی که می توانند به صورت کسری نوشته شوند - بسیار مفید هستند. سرناک گفت: "منحنی های بیضوی روی اعداد واقعی یا مختلط کاملا خسته کننده هستند." "فقط اعداد منطقی هستند که عمیق هستند."

در اینجا یک راه وجود دارد که درست است. اگر یک خط مستقیم بین دو نقطه منطقی روی یک منحنی بیضوی رسم کنید، محلی که آن خط دوباره منحنی را قطع می کند نیز منطقی خواهد بود. همانطور که در زیر نشان داده شده است، می توانید از این واقعیت برای تعریف "افزودن" در منحنی بیضی استفاده کنید.

بین آن خط بکشید P و Q. آن خط منحنی را در نقطه سوم قطع می کند، R. (ریاضی دانان ترفند ویژه ای برای برخورد با مواردی دارند که در آن خط با افزودن یک "نقطه در بی نهایت" منحنی را قطع نمی کند.) بازتاب R در سراسر xمحور جمع شماست P + Q. همراه با این عملیات جمع، تمام راه حل های منحنی یک شی ریاضی به نام گروه را تشکیل می دهند.

ریاضیدانان از این برای تعریف "رتبه" یک منحنی استفاده می کنند. این رتبه یک منحنی به تعداد راه حل های منطقی آن مربوط می شود. منحنی های رتبه 0 دارای تعداد جواب های محدود هستند. منحنی های با رتبه بالاتر دارای تعداد بی نهایت راه حل هستند که رابطه آنها با یکدیگر با استفاده از عملیات جمع توسط رتبه توصیف می شود.

رتبه ها به خوبی درک نشده اند. ریاضیدانان همیشه راهی برای محاسبه آنها ندارند و نمی دانند چقدر می توانند بزرگ شوند. (بزرگترین رتبه دقیق شناخته شده برای یک منحنی خاص 20 است.) منحنی های مشابه می توانند رتبه های کاملا متفاوتی داشته باشند.

منحنی های بیضوی نیز ارتباط زیادی با اعداد اول دارند که فقط بر 1 و خودشان بخش پذیرند. به طور خاص، ریاضیدانان به منحنی‌های میدان‌های محدود نگاه می‌کنند - سیستم‌هایی از محاسبات چرخه‌ای که برای هر عدد اول تعریف می‌شوند. یک میدان متناهی مانند ساعتی است که تعداد ساعات آن برابر با عدد اول است: اگر به شمارش رو به بالا ادامه دهید، اعداد دوباره شروع می شوند. مثلاً در فیلد محدود برای 7، 5 به علاوه 2 برابر با صفر و 5 به علاوه 3 برابر با 1 است.

یک منحنی بیضوی دارای یک دنباله اعداد مرتبط است که نامیده می شود a_p، که به تعداد راه حل های موجود در منحنی در میدان محدود تعریف شده با عدد اول مربوط می شود. p. کوچکتر a_p به معنای راه حل های بیشتر؛ بزرگتر a_p یعنی راه حل های کمتر اگرچه محاسبه رتبه سخت است، اما دنباله a_p بسیار آسان تر است

برچ و سوینرتون-دایر بر اساس محاسبات متعددی که روی یکی از اولین کامپیوترها انجام شد، رابطه ای بین رتبه منحنی بیضوی و دنباله حدس زدند. a_p. هرکسی که بتواند ثابت کند حق با اوست، برنده یک میلیون دلار و جاودانگی ریاضی است.

یک الگوی غافلگیرکننده ظاهر می شود

پس از شروع همه گیری، یانگ هوی هیمحقق انستیتوی علوم ریاضی لندن تصمیم گرفت چالش های جدیدی را انجام دهد. او یک رشته فیزیک در کالج بود و دکترای خود را از موسسه فناوری ماساچوست در فیزیک ریاضی گرفته بود. اما او به طور فزاینده ای به نظریه اعداد علاقه مند بود و با توجه به قابلیت های فزاینده هوش مصنوعی، فکر می کرد که از هوش مصنوعی به عنوان ابزاری برای یافتن الگوهای غیرمنتظره در اعداد استفاده کند. (او قبلا بوده است با استفاده از یادگیری ماشینی طبقه بندی کردن منیفولدهای Calabi-Yauساختارهای ریاضی که به طور گسترده در نظریه ریسمان استفاده می شود.)

در آگوست 2020، با عمیق‌تر شدن همه‌گیری، دانشگاه ناتینگهام میزبان او بود گفتگوی آنلاین. او نسبت به پیشرفت خود و امکان استفاده از یادگیری ماشینی برای کشف ریاضیات جدید بدبین بود. او گفت: "روایت او این بود که نظریه اعداد سخت است، زیرا شما نمی توانید چیزهایی را در نظریه اعداد به صورت ماشینی یاد بگیرید." توماس الیور، ریاضیدان دانشگاه وست مینستر که در بین حضار حضور داشت. همانطور که او به یاد می آورد، "من نتوانستم چیزی پیدا کنم زیرا متخصص نبودم. من حتی از چیزهای درست برای نگاه کردن به این موضوع استفاده نمی کردم.»

الیور و کیو هوان لی، ریاضیدان دانشگاه کانکتیکات، کار با او را آغاز کرد. اولیور گفت: «ما تصمیم گرفتیم این کار را انجام دهیم تا یاد بگیریم یادگیری ماشینی چیست، نه اینکه به طور جدی ریاضیات را مطالعه کنیم. اما ما به سرعت متوجه شدیم که شما می توانید خیلی چیزها را به صورت ماشینی یاد بگیرید.

الیور و لی به او پیشنهاد کردند که از تکنیک های خود برای بررسی استفاده کند Lتوابع، سری بی نهایت نزدیک به منحنی های بیضوی از طریق دنباله مرتبط است a_p. آنها می توانند از پایگاه داده آنلاین منحنی های بیضوی و مرتبط با آنها استفاده کنند Lتوابع به نام LMFDB برای آموزش طبقه بندی کننده های یادگیری ماشینی خود. در آن زمان پایگاه داده کمی بیش از 3 میلیون منحنی بیضوی بیش از منطقی داشت. تا اکتبر 2020، آنها داشتند یک کاغذ که از اطلاعات جمع آوری شده استفاده می کرد Lعملکردهایی برای پیش بینی خاصیت خاصی از منحنی های بیضوی. در نوامبر آنها به اشتراک گذاشتند مقاله دیگری که از یادگیری ماشین برای طبقه بندی اشیاء دیگر در نظریه اعداد استفاده کرد. تا دسامبر، آنها توانستند پیش بینی رتبه منحنی های بیضوی با دقت بالا

اما آنها مطمئن نبودند که چرا الگوریتم‌های یادگیری ماشینی آن‌قدر خوب کار می‌کنند. لی از دانشجوی کارشناسی خود الکسی پوزدنیاکوف خواست تا ببیند آیا می تواند بفهمد چه اتفاقی دارد می افتد یا خیر. همانطور که اتفاق می افتد، LMFDB منحنی های بیضوی را بر اساس کمیتی به نام رسانا مرتب می کند، که خلاصه ای از اطلاعات مربوط به اعداد اول است که یک منحنی برای آنها به خوبی رفتار نمی کند. بنابراین پوزدنیاکوف سعی کرد تعداد زیادی منحنی با هادی های مشابه را به طور همزمان مشاهده کند - مثلاً همه منحنی هایی که هادی هایی بین 7,500 تا 10,000 دارند.

این در مجموع به حدود 10,000 منحنی رسید. حدود نیمی از این افراد دارای رتبه 0 و نیمی از آنها رتبه 1 بودند. a_p برای همه منحنی های رتبه 0، به طور جداگانه به طور میانگین a_p برای تمام منحنی های رتبه 1، و نتایج را رسم کرد. دو مجموعه نقطه دو موج متمایز و به راحتی قابل تشخیص را تشکیل دادند. به همین دلیل بود که طبقه‌بندی‌کننده‌های یادگیری ماشینی توانستند به درستی رتبه‌های منحنی‌های خاص را مشخص کنند.

پوزدنیاکوف گفت: «در ابتدا از اینکه تکلیف را به پایان رساندم، خوشحال بودم. اما کیو هوان بلافاصله متوجه شد که این الگو شگفت‌انگیز است، و آن زمان بود که واقعاً هیجان‌انگیز شد.

لی و الیور مجذوب شدند. الیور گفت: «الکسی عکس را به ما نشان داد، و من گفتم شبیه کاری است که پرندگان انجام می دهند. "و سپس کیو هوان آن را جستجو کرد و گفت که به آن زمزمه می گویند، و سپس یانگ گفت ما باید روزنامه را صدا کنیم"سوفل منحنی های بیضوی. ""

آنها مقاله خود را در آوریل 2022 آپلود کردند و آن را برای تعداد انگشت شماری از ریاضیدانان دیگر ارسال کردند، و با نگرانی انتظار داشتند که به آنها گفته شود که به اصطلاح "کشف" آنها به خوبی شناخته شده است. الیور گفت که این رابطه به قدری قابل مشاهده است که باید مدت ها قبل به آن توجه می شد.

تقریباً بلافاصله، پیش چاپ مورد توجه قرار گرفت، به ویژه از اندرو ساترلند، یک دانشمند محقق در MIT که یکی از سردبیران LMFDB است. ساترلند متوجه شد که 3 میلیون منحنی بیضوی برای اهداف او کافی نیست. او می خواست به محدوده هادی بسیار بزرگتر نگاه کند تا ببیند صدای زمزمه ها چقدر قوی هستند. او داده ها را از مخزن عظیم دیگری از حدود 150 میلیون منحنی بیضوی استخراج کرد. او همچنان ناراضی بود، سپس داده ها را از یک مخزن متفاوت با 300 میلیون منحنی بیرون کشید.

ساترلند گفت: «اما حتی آن‌ها هم کافی نبودند، بنابراین من در واقع یک مجموعه داده جدید از بیش از یک میلیارد منحنی بیضوی را محاسبه کردم، و این همان چیزی است که برای محاسبه تصاویر واقعاً با وضوح بالا استفاده کردم». زمزمه ها نشان داد که آیا او به طور میانگین بیش از 15,000 منحنی بیضوی در یک زمان داشته است یا یک میلیون در یک زمان. حتی زمانی که او به منحنی‌ها روی اعداد اول بزرگتر و بزرگتر نگاه می‌کرد، این شکل ثابت می‌ماند، پدیده‌ای به نام تغییرناپذیری مقیاس. ساترلند همچنین متوجه شد که سوفل‌ها منحصر به منحنی‌های بیضوی نیستند، بلکه به طور کلی‌تر نیز ظاهر می‌شوند L-کارکرد. او نوشت نامه ای که یافته های او را خلاصه می کند و به سرناک فرستاد و مایکل روبینشتاین در دانشگاه واترلو

ساترلند نوشت: "اگر توضیح شناخته شده ای برای آن وجود داشته باشد، من انتظار دارم که شما آن را بدانید."

آنها این کار را نکردند.

توضیح الگو

لی، او و الیور کارگاهی را در آگوست 2023 در موسسه تحقیقات محاسباتی و تجربی در ریاضیات دانشگاه براون (ICERM) ترتیب دادند. سرناک و روبینشتاین و شاگرد سرناک آمدند نینا زوبریلینا.

زوبریلینا تحقیقات خود را در مورد الگوهای زمزمه ارائه کرد فرم های مدولارتوابع پیچیده خاصی که مانند منحنی های بیضوی با هم مرتبط هستند L-کارکرد. در اشکال مدولار با هادی های بزرگ، سوفل ها به جای تشکیل یک الگوی قابل تشخیص اما پراکنده، به یک منحنی کاملاً مشخص همگرا می شوند. که در یک کاغذ زوبریلینا که در 11 اکتبر 2023 ارسال شد، ثابت کرد که این نوع زمزمه از فرمول صریحی که او کشف کرده پیروی می کند.

«دستاورد بزرگ نینا این است که فرمولی برای این کار به او داده است. من آن را فرمول چگالی زمزمه زوبریلینا می نامم. او با استفاده از ریاضیات بسیار پیچیده، فرمول دقیقی را ثابت کرده است که کاملاً با داده ها مطابقت دارد.

فرمول او پیچیده است، اما سرناک آن را به عنوان یک نوع جدید مهم از توابع، قابل مقایسه با توابع Airy که حل معادلات دیفرانسیل را در زمینه‌های مختلف در فیزیک، از اپتیک تا مکانیک کوانتومی، تعریف می‌کند، تعریف می‌کند.

اگرچه فرمول زوبریلینا اولین بود، دیگران از آن پیروی کردند. سرناک گفت: «اکنون هر هفته، مقاله جدیدی منتشر می‌شود که عمدتاً از ابزارهای زوبریلینا استفاده می‌کند و جنبه‌های دیگر زمزمه‌ها را توضیح می‌دهد.»

جاناتان بوبر, اندرو بوکر و مین لی از دانشگاه بریستول، همراه با دیوید لوری-دودا از ICERM، وجود نوع متفاوتی از سوفل را در اشکال مدولار ثابت کرد یک مقاله اکتبر دیگر. و کیو هوان لی، الیور و پوزدنیاکوف وجود را ثابت کرد زمزمه ها در اشیایی به نام شخصیت های دیریکله که ارتباط نزدیکی با آنها دارند L-کارکرد.

ساترلند تحت تأثیر دوز قابل توجهی از شانس بود که منجر به کشف زمزمه ها شده بود. اگر داده‌های منحنی بیضوی توسط رسانا ترتیب داده نمی‌شد، زمزمه‌ها ناپدید می‌شدند. او گفت: "آنها خوش شانس بودند که داده ها را از LMFDB که طبق هادی از قبل مرتب شده بود، دریافت کردند." این چیزی است که یک منحنی بیضوی را به شکل مدولار مربوطه مرتبط می‌کند، اما این اصلاً واضح نیست. ... دو منحنی که معادلات آنها بسیار شبیه به هم به نظر می رسند، می توانند هادی های بسیار متفاوتی داشته باشند. به عنوان مثال، ساترلند اشاره کرد که y² = x³ - 11x + 6 دارای هادی 17 است، اما علامت منفی را به علامت مثبت برگردانید. y² = x³ + 11x + 6 دارای هادی 100,736 است.

حتی در آن زمان، زمزمه ها فقط به دلیل بی تجربگی پوزدنیاکوف پیدا شد. اولیور گفت: «فکر نمی‌کنم بدون او آن را پیدا می‌کردیم، زیرا کارشناسان به طور سنتی عادی می‌کردند. a_p برای داشتن مقدار مطلق 1. اما او آنها را نرمال نکرد ... بنابراین نوسانات بسیار بزرگ و قابل مشاهده بودند."

الیور خاطرنشان کرد: الگوهای آماری که الگوریتم‌های هوش مصنوعی برای مرتب‌سازی منحنی‌های بیضوی بر اساس رتبه‌بندی استفاده می‌کنند، در فضای پارامتری با صدها بعد وجود دارند - برای اینکه افراد نتوانند در ذهن خود مرتب‌سازی کنند، چه برسد به تجسم، بسیار زیاد است. اما اگرچه یادگیری ماشینی نوسانات پنهان را پیدا کرد، "تنها بعداً متوجه شدیم که آنها زمزمه هستند."

یادداشت سردبیر: اندرو ساترلند، کیو-هوان لی و پایگاه‌داده فرم‌های ماژولار و توابع L (LMFDB) همگی از بنیاد سیمونز، که این نشریه مستقل از نظر سرمقاله را تامین مالی می‌کند، بودجه دریافت کرده‌اند. تصمیمات مالی بنیاد سیمونز تأثیری بر پوشش ما ندارد. اطلاعات بیشتر در دسترس است اینجا کلیک نمایید.