[1] AK Ekert, Phys. Преподобний Летт. 67, 661 (1991).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.67.661

[2] Д. Готтесман, коди стабілізатора та квантове виправлення помилок, Ph.D. Дисертація, Каліфорнійський технологічний інститут, 1997.
https://​/​doi.org/​10.48550/​arXiv.quant-ph/​9705052
arXiv: quant-ph / 9705052

[3] M. Hillery, V. Bužek, and A. Berthiaume, Phys. Rev. A 59, 1829 (1999).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.59.1829

[4] R. Raussendorf та HJ Briegel, Phys. Преподобний Летт. 86, 5188 (2001).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.86.5188

[5] В. Джованетті, С. Ллойд і Л. Макконе, Science 306, 1330 (2004).
https: / / doi.org/ 10.1126 / science.1104149

[6] М. Бен-Ор і А. Хасідім, Швидка квантова візантійська угода, у матеріалах тридцять сьомого щорічного симпозіуму ACM з теорії обчислень, STOC '05 (Асоціація обчислювальної техніки, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, США, 2005), стор. 481–485.
https: / / doi.org/ 10.1145 / 1060590.1060662

[7] JI Cirac, D. Pérez-García, N. Schuch і F. Verstraete, Rev. Mod. фіз. 93, 045003 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.93.045003

[8] Р. Городецький, П. Городецький, М. Городецький і К. Городецький, Rev. Mod. фіз. 81, 865 (2009).
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.81.865

[9] E. Chitambar і G. Gour, Rev. Mod. фіз. 91, 025001 (2019).
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.91.025001

[10] MA Nielsen, Phys. Преподобний Летт. 83, 436 (1999).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.83.436

[11] W. Dür, G. Vidal і JI Cirac, Phys. Rev. A 62, 062314 (2000).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.62.062314

[12] F. Verstraete, J. Dehaene, B. De Moor, and H. Verschelde, Phys. Rev. A 65, 052112 (2002).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.65.052112

[13] Зверніть увагу, що Ref. 4qubitSLOCC надає 9 сімейств 4-кубітових станів, але деякі з цих сімейств є колекціями нескінченної кількості нееквівалентних класів SLOCC (див. також, наприклад, Розділ 14 у Ref. GourBook).

[14] Г. Гур, Ресурси квантового світу. arXiv:2402.05474v1 [quant-ph] (2024).
https://​/​doi.org/​10.48550/​arXiv.2402.05474
arXiv: 2402.05474v1

[15] G. Gour і NR Wallach, New J. Phys. 13 073013 (2011).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​1367-2630/​13/​7/​073013

[16] M. Hebenstreit, M. Englbrecht, C. Spee, JI de Vicente та B. Kraus, New J. Phys. 23, 033046 (2021).
https://​/​doi.org/​10.1088/​1367-2630/​abe60c

[17] C. Spee, JI de Vicente, D. Sauerwein і B. Kraus, Phys. Преподобний Летт. 118, 040503 (2017).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.118.040503

[18] JI de Vicente, C. Spee, D. Sauerwein і B. Kraus, Phys. Rev. A 95, 012323 (2017).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.95.012323

[19] JI de Vicente, C. Spee та B. Kraus, Phys. Преподобний Летт. 111, 110502 (2013).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.111.110502

[20] G. Gour, B. Kraus і NR Wallach, J. Math. фіз. 58, 092204 (2017).
https: / / doi.org/ 10.1063 / 1.5003015

[21] D. Sauerwein, NR Wallach, G. Gour і B. Kraus, Phys. Ред. X 8, 031020 (2018).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevX.8.031020

[22] S. Turgut, Y. Gül, and NK Pak, Phys. Rev. A 81, 012317 (2010).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.81.012317

[23] С. Кінташ і С. Тургут, J. Math. фіз. 51, 092202 (2010).
https: / / doi.org/ 10.1063 / 1.3481573

[24] C. Spee, JI de Vicente і B. Kraus, J. Math. фіз. 57, 052201 (2016).
https: / / doi.org/ 10.1063 / 1.4946895

[25] M. Hebenstreit, C. Spee та B. Kraus, Phys. Rev. A 93, 012339 (2016).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.93.012339

[26] M. Englbrecht і B. Kraus, Phys. Rev. A 101, 062302 (2020).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.101.062302

[27] D. Sauerwein, A. Molnar, JI Cirac і B. Kraus, Phys. Преподобний Летт. 123, 170504 (2019).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.123.170504

[28] M. Hebenstreit, D. Sauerwein, A. Molnar, JI Cirac і B. Kraus, Phys. Rev. A 105, 032424 (2022).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.105.032424

[29] M. Hebenstreit, C. Spee, NKH Li, B. Kraus, JI de Vicente, Phys. Rev. A 105, 032458 (2022).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.105.032458

[30] H. Yamasaki, A. Soeda, and M. Murao, Phys. Rev. A 96, 032330 (2017).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.96.032330

[31] C. Spee і T. Kraft, arXiv:2105.01090 [quant-ph] (2021).
https://​/​doi.org/​10.48550/​arXiv.2105.01090
arXiv: 2105.01090

[32] W. Jian, Z. Quan і T. Chao-Jing, Commun. Теор. фіз. 48, 637 (2007).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​0253-6102/​48/​4/​013

[33] W. Dür, Phys. Rev. A 63, 020303(R) (2001).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.63.020303

[34] A. Cabello, Phys. Преподобний Летт. 89, 100402 (2002).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.89.100402

[35] M. Fitzi, N. Gisin, and U. Maurer, Phys. Преподобний Летт. 87, 217901 (2001).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.87.217901

[36] MT Quintino, Q. Dong, A. Shimbo, A. Soeda та M. Murao, Phys. Преподобний Летт. 123, 210502 (2019).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.123.210502

[37] С. Йосіда, А. Соеда та М. Мурао, Квант 7, 957 (2023).
https:/​/​doi.org/​10.22331/​q-2023-03-20-957

[38] Х.-К. Lo and S. Popescu, Phys. Rev. A 63, 022301 (2001).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.63.022301

[39] Зауважте, що приклади перетворень, які не можуть бути досягнуті шляхом конкатенації однораундових протоколів, цього не підтверджують. Це пояснюється тим, що вихідний стан автоматично не є слабко ізольованим (він має бути досяжним у кінцевому циклі), а вхідний стан може бути однократно конвертованим в інший стан.

[40] J. Eisert і HJ Briegel, Phys. Rev. A 64, 022306 (2001).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.64.022306

[41] Це тому, що будь-яка матриця $bigotimes_{j=1}^n X^{(j)}in bigotimes_{i=1}^n GL(d_i,mathbb{C})$ дорівнює тензорному добутку між $frac{ X^{(j)}}{det(X^{(j)})^{1/​d_j}}в SL(d_j,mathbb{C})$ для будь-яких $n-1$ індексів $j$ і $prod_{jneq k}det(X^{(j)})^{1/​d_j} X^{(k)}$ для решти індексу $k$.

LOCCRef1″>[42] CH Bennett, DP DiVincenzo, CA Fuchs, T. Mor, E. Rains, PW Shor, JA Smolin, and WK Wootters, Phys. Rev. A 59, 1070 (1999).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.59.1070

[43] MJ Donald, M. Horodecki та O. Rudolph, J. Math. фіз. 43, 4252 (2002).
https: / / doi.org/ 10.1063 / 1.1495917

[44] E. Chitambar, Phys. Преподобний Летт. 107, 190502 (2011).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.107.190502

[45] E. Chitambar, D. Leung, L. Mančinska, M. Ozols, and A. Winter, Commun. математика фіз. 328, 303 (2014), і посилання там.
https:/​/​doi.org/​10.1007/​s00220-014-1953-9

[46] Ми кажемо, що матриця $X$ квазікомутує з іншою матрицею $A$ тоді і тільки тоді, коли $X^dagger AX= kApropto A$ для деякого $kinmathbb{C}$.

[47] F. Verstraete, J. Dehaene та B. De Moor, Phys. Rev. A 65, 032308 (2002).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.65.032308

[48] Точніше, $P$ можна вибрати як $P=|vranglelangle v|+{1}$, де $|vrangle inmathbb{C}^d$ не є власним вектором будь-якого $U_iinmathcal{F}$. Такий вектор завжди існує, оскільки жоден скінченновимірний векторний простір над $mathbb{C}$ не є скінченним об’єднанням належних підпросторів (див., наприклад, Ref. VecSpaceNOTfiniteUnion).

[49] A. Khare, Лінійна алгебра та її застосування 431(9), 1681-1686 (2009).
https://​/​doi.org/​10.1016/​j.laa.2009.06.001

[50] Це можна легко побачити наступним чином. По-перше, завдяки симетрії стану легко побачити, що будь-який стан у класі SLOCC є LU-еквівалентом $sqrt{G_1}otimessqrt{D_2}otimes {1}|A_3rangle $ [див. рівняння. (29)], де $G_1>0$ і $D_2=diag(alpha_2,beta_2,1) >0$. Крім того, використовуючи симетрію $U^{otimes3}$ $|A_3rangle $, де $U=diag(e^{itheta},e^{ivarphi},e^{-i(theta+varphi)})$ з $theta=-frac{arg(gamma_1)+arg(delta_1)}{3}$, $varphi=frac{2arg(gamma_1)-arg(delta_1)}{3}$, $gamma_1=(G_1)_{12 }$ і $delta_1=(G_1)_{13}$, призводить до стану тієї самої форми, що й вище, але з $G_1$ замінено на $U G_1 U^dagger$, записи якого $(1,2)$ і $(1,3)$ більші або дорівнюють нулю. Отже, стани (до LU) параметризовані 8 параметрами.

[51] JI de Vicente, T. Carle, C. Streitberger і B. Kraus, Phys. Преподобний Летт. 108, 060501 (2012).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.108.060501

[52] M. Hebenstreit, B. Kraus, L. Ostermann, and H. Ritsch, Phys. Преподобний Летт. 118, 143602 (2017).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.118.143602

[53] Зауважте, що тут ми змінюємо порядок $alpha_2$ і $beta_1$ на відміну від позначення, яке ми використовуємо в Спостереженні 11 для позначення станів у $M_{A_3}$.

[54] Ф. Бернардс і О. Гюне, J. Math. фіз. 65, 012201 (2024).
https: / / doi.org/ 10.1063 / 5.0159105

[55] Аргумент, який ми використовуємо тут, щоб показати, що $Botimes B^{-1}otimes {1}^{otimes n-2}inmathcal{S}_{|A_nrangle }$, є тим самим аргументом, що використовується в Ref. MigdalSymm (Розділ II), щоб довести, що перестановочно-симетричні стани мають симетрії у вигляді $Botimes B^{-1}otimes {1}^{otimes n-2}$.

[56] P. Migdał, J. Rodriguez-Laguna, and M. Lewenstein, Phys. Rev. A 88, 012335 (2013).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.88.012335

[57] Див. стор. 8 посилання. ЗаріскіЗакрито через те, що замикання Заріскі на $mathbb{C}^d$ означає евклідове замикання на $mathbb{C}^d$.

[58] К.Е. Сміт, Л. Каханпяя, П. Кекаляйнен і В. Трейвс, Запрошення до алгебраїчної геометрії, Springer New York, 2000.
https:/​/​doi.org/​10.1007/​978-1-4757-4497-2

[59] PM Fitzpatrick, Advanced Calculus (2nd ed.), Thomson Brooks/​Cole, 2006.

[60] Легко побачити, що теорема Больцано-Вейєрштрасса також застосовується до обмежених послідовностей у $mathbb{C}^d$, розглядаючи їх як послідовності в $mathbb{R}^{2d}$.

[61] Й. Мікельссон, Й. Нідерле, Комун. математика фіз. 16, 191–206 (1970).
https: / / doi.org/ 10.1007 / BF01646787

[62] Тоді розглянутий стан може бути LU-еквівалентним початковому стану.

[63] Зауважте, що якщо існує умова узгодженості з $x_1^{(lambda)}=0$ і $x_2^{(lambda)}neq0$, а $theta$ є ірраціональним кратним $pi$, то система рівнянь має вигляд непослідовний.

[64] Отримуємо рівняння (20) спочатку помноживши кожне рівняння в $mathbf{B}vec{alpha'}=vec{varphi'}+vec{theta}$ на коефіцієнт $zinmathbb{C}$ з обох сторін, а потім піднявши обидві частини до степеня кожне рівняння.

=5″>[65] Хоча існування слабкої ізоляції було доведено для класів $(ngeq5)$-qudit SLOCC невиключно симетричних (не-ES) станів, які є симетричними до перестановки станами лише з симетріями у формі $S^{otimes n}$ , у лемі 4 посилання. У нашій SymmPaper, доказ також стосується будь-якого $n$-qudit класу SLOCC, який має стан, стабілізований лише на $S^{otimes n}$ до $ngeq5$.

[66] Джей Джей Сакурай. Сучасна квантова механіка (оновлене видання). Еддісон Веслі, 1993.

[67] Ряди збурень для $E_p$ і $|e_prangle $ гарантовано збігаються, оскільки матриця $H_0 + epsilon V(epsilon)$ є ермітовою та аналітичною (тобто кожен елемент матриці є аналітичним) в околиці $epsilon=0$ де $epsiloninmathbb{R}$ і згідно з теоремою Релліха Rellich, FriedlandBook, усі власні значення та елементи власних векторів також мають бути аналітичними в околицях $epsilon=0$.

[68] Ф. Релліх, Теорія збурень проблем власних значень, Gordon & Breach, Нью-Йорк, 1969.

[69] С. Фрідланд, Матриці: алгебра, аналіз і застосування, World Scientific, 2015.

[70] Оскільки ряд збурень власного значення $E_p$ збігається в $epsilon$, можна вибрати $epsilon$ достатньо малим, щоб абсолютне значення суми доданків $mathcal{O}(epsilon^2)$ було строго менше $ frac{1}{2}(frac{1}{r}-1)$ для $E_0$ і $frac{1}{2r^{p-1}}(frac{1}{r}-1)$ , що дорівнює половині відстані між $(p-1)$-м і $p$-м незбуреними власними значеннями, для $E_p$, де $pin{1,ldots,d-1}$ і $0

[71] Оскільки ряд збурень власного вектора $|e_prangle $ збігається в $epsilon$, можна вибрати $epsilon$ достатньо малим, щоб абсолютне значення суми членів $mathcal{O}(epsilon^2)$ для $langle0| e_prangle$ є строго меншим за 1 для $|e_0rangle $ і $|frac{epsilonsqrt{r}^{p}}{(1-r^p)(1-omega^{-p})}|$ для кожного $ |e_prangle $ де $pin{1,ldots,d-1}$, зберігаючи ${E_p}$ невироджену виноску:pert.

[72] Легко побачити наступне: якщо $Sin SL(d,mathbb{C})$ квазікомутує з двома $dtimes d$ позитивно визначеними діагональними матрицями $Lambda$ і $D$ такими, що $Lambdanotpropto D$, $S $ має бути прямою сумою блочних матриць, які діють на (вироджені) власні простори $Lambda^{-1}D$. Крім того, для кожного блоку в $S$, діапазон якого лежить у (виродженому) власному просторі одного власного значення $Lambda$ або $D$, блок є унітарним.

[73] При множенні екв. (1) за $|A_3rangle $ (це початковий стан $|Psi_srangle $ тут), де $g=sqrt{Delta'}otimes sqrt{D'}otimes {1}$ і $h=sqrt{Delta}otimes sqrt {D}іноді {1}$, термін $g^daggersum_q N_q^dagger N_q g|A_3rangle =0$, оскільки всі $N_qinmathcal{N}_{gPsi_s}$ задовольняють $N_q g|A_3rangle =0$ за визначенням.

[74] Крім того, це можна побачити, показавши, що $|A_3rangle $ є єдиним станом серед усіх кандидатів на MES у Спостереженні 11, який має повністю змішану матрицю зменшеної щільності одного кутріта для всіх 3 двосторонніх розщеплень. Застосування теореми Нільсена Нільсена до всіх 3 подвійних розділів доводить, що $|A_3rangle $ справді не є LOCC-досяжним.

[75] Наведена вище процедура підготовки не працює для $|psi(alpha_1,alpha_2,beta_1,beta_2)rangle $ з $beta_1=beta_2$, оскільки один зі стовпців у $U_2$ і $U_3$ стає нулями, коли $beta_1=beta_2$ .