Більшість людей знайомі лише з кількома числами, які не можна записати дробами, наприклад $latex sqrt{2}$ або $latex pi$. Але таких чисел, які називаються ірраціональними, набагато більше, ніж дробів чи раціональних чисел.

Наскільки легко їх апроксимувати дробами? Якщо ви використовуєте дріб із як завгодно великим знаменником, ви можете отримати як завгодно близьке значення. (Як відомо, 22/7 дає пристойне наближення $latex pi$; 355/113 навіть краще.) Але деякі ірраціональні числа важче наблизити, ніж інші, а це означає, що вам потрібно використовувати дуже великий знаменник, щоб отримати близьке наближення. Найжорсткішим виявляється золотий переріз, $latex phi$ або $latex (1+ sqrt{5})/2$. У конкретному математичному сенсі це число, яке «найдалі» від раціонального.

Який наступний найдальший? А наступний? Послідовність ірраціональних чисел, які важко наблизити, виявляється заданою цілими розв’язками оманливо простого рівняння, яке не має очевидного зв’язку з наближенням ірраціональних чисел. Цей зв'язок довів давній російський математик Андрій Марков у 1879 році.

Марков відомий тим, що розробив концепцію в теорії ймовірностей під назвою ланцюг Маркова, яка використовується в усьому, від алгоритму PageRank Google до моделей еволюції ДНК. Але хоча рішення його рівняння, які називаються числами Маркова, не настільки відомі, вони виникають у широкому діапазоні математичних дисциплін, включаючи комбінаторику, теорію чисел, геометрію та теорію графів.

«Це не просто рівняння, це свого роду метод», — сказав Олег Карпенков, математик Ліверпульського університету. «Ці числа є центральними, глибоко всередині математики... такі структури, як ця, — це ті ідеї, які зустрічаються рідко».

Його рівняння $latex x^2+y^2+z^2=3xyz$ має очевидний цілочисельний розв’язок, коли x, y та z усі дорівнюють 1 (оскільки 1 + 1 + 1 = 3 × 1). Виявляється, що всі цілі розв’язки рівняння пов’язані простим правилом. Почніть з рішення (a, b, c). Тоді споріднений триплет (a, b, 3ab - c) також є рішенням. Перші два числа залишаються незмінними, поки c, третє, замінюється на 3ab − c. Застосуйте це правило до (1, 1, 1), і ви отримаєте (1, 1, 2). (Легко перевірити, що введення цих значень робить обидві частини рівняння рівними 6.) Застосуйте правило знову, і ви повернетеся з того місця, з якого почали, оскільки 3 − 2 = 1. Але якщо ви перевернете порядок чисел у трійці перед застосуванням правила, це створює цілий всесвіт рішень. Введіть (1, 2, 1), і ви отримаєте (1, 2, 5).

До цього часу через ідентичні одиниці дерево (показано на ілюстрації на початку цієї історії) не розгалужується — так би мовити, перші кілька кроків вирощують стовбур дерева. Але якщо ви починаєте з рішення з трьома різними числами, наприклад (1, 1, 2), гілки починають розмножуватися. Введіть (5, 5, 1) і отримаєте (2, 2, 5). Але (29, 2, 5) призводить до (1, 1, 5). (Якщо ви введете (13), то правило поверне вас до нижчої гілки дерева.) З цього моменту кожен розв’язок має три різні числа, тому кожна гілка дерева веде до двох нових гілок. .

Крайня ліва гілка дерева може здатися знайомою — вона містить усі інші числа в послідовності Фібоначчі, одній із найвідоміших у математиці (кожне число в цій послідовності є сумою двох попередніх членів: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …). Крайня права гілка так само містить усі інші терміни в послідовності Пелла, пов’язаній, хоча й трохи менш відомій послідовності. Те, як ці послідовності з’являються в дереві розв’язків, — це «одна з найпрекрасніших речей у математиці, яку я знаю», сказав Олександр Гамбурд, професор Міського університету Нью-Йорка.

Теорема Маркова 1879 року, яка пов’язувала кожну трійку з ірраціональним числом, яке важко наблизити, була першим натяком на те, що це рівняння може мати глибокий резонанс у всій математиці. В 2013 книга по теміМартін Айгнер, австрійський математик, який помер у жовтні, назвав цю теорему «безперечно однією з класичних теорій чисел усіх часів».

У 1913 році Георг Фробеніус, німецький математик, який зробив широкомасштабні внески до алгебри, теорії чисел і вивчення диференціальних рівнянь, помітив щось цікаве про трійки Маркова. Здавалося, кожне найбільше число однозначно визначає два менших. Число — наприклад, 5 — може з’являтися в багатьох трійках, наприклад (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29) і так далі. Але, зауважив він, якщо ви подивитеся лише на найбільше число в кожній трійці, воно буде пов’язане лише з однією парою менших чисел.

Оскільки цифри ростуть дуже швидко, далеко не очевидно, що це має бути правдою. Наприклад, візьмемо трійку (5, 433, 6,466). Це неочевидно, якщо ви встановите z до 6,466, єдино можливий x та y які розв’яжуть рівняння, це 5 і 433. Але, наскільки міг зрозуміти Фробеніус, найбільше число завжди однозначно визначає два менших. За 110 років, що минули відтоді, незважаючи на величезну кількість досліджень, що пов’язують числа Маркова з іншими проблемами, ніхто не зміг довести те, що стало відомо як гіпотеза унікальності.

Відносна простота гіпотези ілюструє звичайний математичний парадокс. Такі інструменти, як рівняння Маркова, можна використовувати для підтвердження тонких і складних результатів, навіть якщо основні питання щодо їхніх властивостей залишаються невирішеними.

Однак за останні кілька років було досягнуто помітного прогресу в доведенні гіпотези про унікальність. Давно відомо, що можна створити відповідність між кожною трійкою Маркова та всіма дробами від нуля до 1. Для кожного дробу p/q, який називається індексом, можна присвоїти число Маркова m_p/q дотримуючись певної математичної процедури. Наприклад, m_2/3 дорівнює 29, і m_3/5 є 433.

У 2013 році Айгнер зробив три припущення про те, як можна впорядкувати трійки, використовуючи цю відповідність. Ці гіпотези є сходинками на шляху до доказу гіпотези унікальності. Він припустив, що якщо залишити чисельник індексу незмінним і збільшити знаменник (як у 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, …), відповідні числа Маркова продовжуватимуть збільшуватися. Подібним чином він подумав, що якщо збільшити чисельник, але залишити той самий знаменник (як у 1/17, 2/17, 3/17, 4/17, …), ви також повинні отримати рядок все більших чисел Маркова. Він вважав, що така ж схема збільшення чисел має мати місце, якщо сума чисельника та знаменника залишається незмінною (як у 1/100, 2/99, 3/98, …).

Гіпотезу постійного чисельника було доведено в папір 2020 in Успіхи в математиці by Мішель Рабідо Гартфордського університету та Ральф Шиффлер Університету Коннектикуту. У лютому 2023 року разом із двома іншими співробітниками Рабідо та Шиффлер опублікували доказ того, що інші дві гіпотези а.

Завдяки цим та іншим досягненням Карпенков налаштований оптимістично, що доказ гіпотези Фробеніуса про унікальність може нарешті бути готовим. «Я знаю людей, які кажуть, що вони близькі до доказу», — сказав він. «Я думаю, що ми досить близькі — можливо, протягом наступних п’яти років».

Quanta проводить серію опитувань, щоб краще обслуговувати нашу аудиторію. Візьміть наші опитування читачів з математики і ви будете введені, щоб виграти безкоштовно Quanta мерч.