La maggior parte delle persone ha familiarità solo con una manciata di numeri che non possono essere scritti come frazioni, come $latex sqrt{2}$ o $latex pi$. Ma tali numeri, chiamati numeri irrazionali, sono molto più abbondanti delle frazioni o dei numeri razionali.

Quanto sono facili da approssimare con le frazioni? Se usi una frazione con un denominatore arbitrariamente grande, puoi avvicinarti arbitrariamente. (Come è noto, 22/7 fornisce una discreta approssimazione di $latex pi$; 355/113 è ancora migliore.) Ma alcuni numeri irrazionali sono più difficili da approssimare di altri, il che significa che è necessario utilizzare un denominatore molto grande per ottenere una buona approssimazione. Il più difficile risulta essere il rapporto aureo, $latex phi$, o $latex (1+ sqrt{5})/2$. È, in senso matematico specifico, il numero “più lontano” dall'essere razionale.

Qual è il prossimo più lontano? E il prossimo? La sequenza dei numeri irrazionali difficili da approssimare risulta essere data dalle soluzioni intere di un'equazione apparentemente semplice che non ha alcuna connessione ovvia con l'approssimazione dei numeri irrazionali. Questa connessione fu dimostrata da Andrey Markov, un matematico russo preveggente, nel 1879.

Markov è famoso per aver inventato un concetto nella teoria della probabilità chiamato catene di Markov, che vengono utilizzate in qualsiasi cosa, dall'algoritmo PageRank di Google ai modelli di evoluzione del DNA. Ma sebbene le soluzioni alla sua equazione, chiamate numeri di Markov, non siano altrettanto conosciute, esse si trovano in una vasta gamma di discipline matematiche, tra cui la combinatoria, la teoria dei numeri, la geometria e la teoria dei grafi.

"Non è solo un'equazione, è una sorta di metodo", ha detto Oleg Karpenkov, un matematico dell'Università di Liverpool. "Questi numeri sono centrali, nel profondo della matematica... strutture come questa sono il tipo di idee rare."

La sua equazione, $latex x^2+y^2+z^2=3xyz$, ha un'ovvia soluzione intera quando x, y ed z sono tutti 1 (poiché 1 + 1 + 1 = 3 × 1). Risulta che tutte le soluzioni intere dell'equazione sono collegate da una semplice regola. Inizia con una soluzione (a, b, c). Quindi la relativa tripletta (a, b, 3ab - c) è anche una soluzione. I primi due numeri rimangono gli stessi, mentre c, il terzo, è sostituito da 3ab - c. Applica questa regola a (1, 1, 1) e ottieni (1, 1, 2). (È facile verificare che inserendo questi valori entrambi i lati dell'equazione siano uguali a 6.) Applica di nuovo la regola e tornerai al punto di partenza, poiché 3 − 2 = 1. Ma se inverti l'ordine dei numeri nella terna prima di applicare la regola, crea un intero universo di soluzioni. Inserisci (1, 2, 1) e otterrai (1, 2, 5).

Fino ad ora, a causa degli 1 identici, l'albero (mostrato nell'illustrazione all'inizio di questa storia) non si ramifica: i primi passi fanno crescere il tronco dell'albero, per così dire. Ma se inizi con una soluzione con tre numeri diversi, come (1, 2, 5), i rami iniziano a proliferare. Inserisci (5, 1, 2) e ottieni (2, 5, 29). Ma (2, 5, 1) dà come risultato (1, 5, 13). (Se inserisci (1,2,5), la regola ti riporta al ramo inferiore dell'albero.) Da questo punto in poi, ogni soluzione ha tre numeri diversi, quindi ogni ramo dell'albero porta a due nuovi rami .

Il ramo più a sinistra dell'albero potrebbe sembrare familiare: contiene tutti gli altri numeri della sequenza di Fibonacci, una delle più conosciute in matematica (ogni numero in questa sequenza è la somma dei due termini precedenti: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …). Allo stesso modo, il ramo più a destra contiene tutti gli altri termini della sequenza Pell, una sequenza correlata, anche se leggermente meno famosa. Il modo in cui queste sequenze appaiono nell'albero delle soluzioni è "una delle cose più belle che io conosca in matematica", ha detto Alessandro Gamburd, professore alla City University di New York.

Il teorema di Markov del 1879, che collega ciascuna tripletta a un numero irrazionale difficile da approssimare, fu il primo indizio che questa equazione avrebbe potuto avere una risonanza profonda in tutta la matematica. In un Libro del 2013 sull'argomento, Martin Aigner, un matematico austriaco morto in ottobre, definì il teorema “senza dubbio uno dei classici di tutti i tempi nella teoria dei numeri”.

Nel 1913 Georg Frobenius, un matematico tedesco che realizzò contributi di ampio respiro all'algebra, alla teoria dei numeri e allo studio delle equazioni differenziali, notò qualcosa di curioso riguardo alle triple di Markov. Ciascun numero più grande sembrava determinare in modo univoco i due più piccoli. Un numero, ad esempio 5, potrebbe apparire in molte terzine, come (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29) e così via. Ma, ha osservato, se si guarda solo il numero più grande in ciascuna terzina, sarà affiliato solo con una coppia di numeri più piccoli.

Poiché i numeri crescono così rapidamente, non è affatto ovvio che ciò sia vero. Ad esempio, prendi la terzina (5, 433, 6,466). Non è immediatamente evidente che se imposti z a 6,466, l'unico possibile x ed y che risolveranno l'equazione sono 5 e 433. Ma per quanto ne sapeva Frobenius, il numero più grande determinava sempre in modo univoco i due più piccoli. Nei 110 anni successivi, nonostante un enorme corpus di ricerche che collegano i numeri di Markov ad altri problemi, nessuno è stato in grado di dimostrare quella che è diventata nota come congettura dell’unicità.

La relativa semplicità della congettura illustra un paradosso matematico comune. Strumenti come l'equazione di Markov possono essere utilizzati per dimostrare risultati sottili e complicati anche quando le questioni fondamentali sulle loro proprietà rimangono irrisolte.

Tuttavia, negli ultimi anni, ci sono stati notevoli progressi nel dimostrare la congettura dell’unicità. È noto da tempo che è possibile creare una corrispondenza tra ogni tripla di Markov e tutte le frazioni comprese tra zero e 1. Per ogni frazione p/q, che viene chiamato indice, puoi assegnare un numero di Markov m_p/q seguendo un particolare procedimento matematico. Per esempio, m_2/3 è 29 e m_3/5 è 433.

Nel 2013, Aigner ha formulato tre congetture su come le triple possano essere ordinate utilizzando questa corrispondenza. Queste congetture sono trampolini di lancio verso la dimostrazione della congettura dell'unicità. Ha ipotizzato che se si mantiene costante il numeratore dell'indice e si aumenta il denominatore (come in 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ...), i rispettivi numeri di Markov continueranno a diventare più grandi. Allo stesso modo, pensava che se si aumenta il numeratore ma si mantiene lo stesso denominatore (come in 1/17, 2/17, 3/17, 4/17, ...), si dovrebbe ottenere anche una serie di numeri di Markov sempre più grandi. Lo stesso schema di numeri crescenti, pensava, dovrebbe valere se la somma del numeratore e del denominatore viene mantenuta costante (come in 1/100, 2/99, 3/98, ...).

La congettura del numeratore costante è stata dimostrata una carta 2020 in Progressi in matematica by Michelle Rabideau dell'Università di Hartford e Ralf Schiffler dell'Università del Connecticut. Nel febbraio 2023, insieme ad altri due collaboratori, Rabideau e Schiffler pubblicarono una prova dell' altre due congetture come pure.

A causa di questi e altri progressi, Karpenkov è ottimista sul fatto che una prova della congettura sull'unicità di Frobenius potrebbe finalmente essere in lavorazione. "Conosco persone che dicono di essere vicine a dimostrarlo", ha detto. “Penso che siamo abbastanza vicini, forse entro i prossimi cinque anni”.

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