Októberben a tervek szerint egy Falcon Heavy rakéta indul a floridai Cape Canaveralról, amely a NASA Europa Clipper küldetését szállítja. Az 5 milliárd dolláros küldetés célja annak kiderítése, hogy az Európa, a Jupiter negyedik legnagyobb holdja képes-e fenntartani az életet. De mivel az Európát folyamatosan bombázza a Jupiter mágneses mezeje által keltett intenzív sugárzás, a Clipper űrszonda nem tudja magát a Holdat megkerülni. Ehelyett egy excentrikus pályára csúszik a Jupiter körül, és az Európa mellett ismételten – összesen 53-szor – gyűjt adatokat, mielőtt visszavonulna a legrosszabb sugárzás elől. Minden alkalommal, amikor az űrszonda megkerüli a Jupitert, az útja kissé eltérő lesz, így biztosítva, hogy képeket készítsen és adatokat gyűjthessen az Európa pólusaitól az Egyenlítőig.

Az ehhez hasonló kanyargós túrák megtervezéséhez a pályatervezők számítógépes modelleket használnak, amelyek lépésről lépésre aprólékosan kiszámítják a pályát. A tervezés több száz küldetési követelményt vesz figyelembe, és több évtizedes matematikai kutatás támasztja alá a pályákat és azt, hogy hogyan lehet bonyolult körutakban összekapcsolni őket. A matematikusok most olyan eszközöket fejlesztenek ki, amelyek reményeik szerint felhasználhatók a pályák egymáshoz való viszonyának szisztematikusabb megértésére.

„Amivel rendelkezünk, azok az általunk korábban elvégzett számítások, amelyek irányítanak minket a jelenlegi számítások során. De ez nem egy teljes kép az összes lehetőségünkről” – mondta Daniel Scheeres, repülőmérnök a Colorado Egyetemen, Boulderben.

„Azt hiszem, ez volt a legnagyobb csalódottságom diákkoromban” – mondta Dayung Koh, a NASA Sugárhajtási Laboratóriumának mérnöke. – Tudom, hogy ezek a pályák ott vannak, de nem tudom, miért. Tekintettel a Jupiter és a Szaturnusz holdjaira irányuló küldetések költségére és összetettségére, probléma nem tudni, miért vannak a pályák ott, ahol vannak. Mi van, ha van egy teljesen más pálya, amely kevesebb erőforrással elvégezné a munkát? Ahogy Koh mondta: „Megtaláltam mindet? Vannak még? Ezt nem tudom megmondani.”

Miután 2016-ban doktorált a Dél-Kaliforniai Egyetemen, Koh egyre érdeklődött az iránt, hogyan lehet a pályákat családokba sorolni. Az Európától távol eső Jovi-pályák ilyen családot alkotnak; így járnak az Európához közeli pályák is. De más családok kevésbé nyilvánvalóak. Például bármely két testnél, mint a Jupiter és az Európa, van egy közbülső pont, ahol a két test gravitációs hatása egyensúlyban van, és stabil pontokat hoz létre. Az űrhajók megkerülhetik ezt a pontot, annak ellenére, hogy a pálya közepén nincs semmi. Ezek a pályák egy Ljapunov-pályának nevezett családot alkotnak. Adjon hozzá egy kis energiát egy ilyen pályán egy űrhajó motorjának begyújtásával, és eleinte ugyanabban a családban marad. De adjunk hozzá eleget, és átlépünk egy másik családba – mondjuk egy olyanba, amelynek pályája a Jupitert tartalmazza. Előfordulhat, hogy egyes keringési családok kevesebb üzemanyagot igényelnek, mint mások, folyamatosan napfényben maradnak, vagy más hasznos tulajdonságokkal rendelkeznek.

2021-ben Koh rábukkant egy tanulmányra, amely azt tárgyalta, hogyan lehet megbirkózni a kaotikus pályákkal a szimplektikus geometria szemszögéből, amely a matematika egy absztrakt területe, amely általában távol áll a való világ zavaros részleteitől. Kezdett gyanakodni, hogy a szimplektikus geometria rendelkezik a pályák jobb megértéséhez szükséges eszközökkel, és kapcsolatba lépett Agustin Moreno, a cikk szerzője. Moreno, aki akkoriban a svéd Uppsalai Egyetem posztdoktori ösztöndíjasa volt, meglepődve és örömmel hallotta, hogy valaki a NASA-nál érdeklődik a munkája iránt. „Váratlan volt, de egyben elég érdekes és egyben motiváló is” – mondta.

Ők ketten együtt kezdtek dolgozni, és igyekeztek alkalmazni Moreno absztrakt technikáit a Jupiter-Európa rendszerre, valamint a Szaturnuszra és az Enceladus holdjára, amelynek az Európához hasonlóan élete lehet a földalatti óceánjában. Az elmúlt évben más munkatársakkal együtt egy sor olyan dolgozatot írtak, amelyek hozzon létre egy keretet mert pályák katalogizálása. Januárban Moreno, aki jelenleg a Heidelbergi Egyetem professzora, elkészült egy korai vázlattal, amely felmérési dokumentumát a könyv a témában. A könyvvel a szimplektikus geometria absztrakt területét kívánja hasznossá tenni azon mérnökök számára, akik űrmissziókat terveznek. Ha sikerül, újra egyesíti azokat a kutatási területeket, amelyek az évszázadok során szétnőttek.

Nincs királyi út a geometriához

A szimplektikus geometria a fizikában gyökerezik. Hogy egy egyszerű példát vegyünk, képzeljünk el egy ingát. Mozgása két paraméterrel írható le: szöggel és sebességgel. Ha a sebesség elég alacsony, az inga ide-oda oszcillál. Ha nagyobb a sebesség, akkor körben forog. Egy idealizált, súrlódás nélküli ingában, miután kiválasztotta a kezdőszöget és a sebességet, a rendszer viselkedése minden időre meghatározásra kerül.

Létrehozhat egy grafikont, amelynek szöge a x-tengely és a sebesség, mint a y-tengely. De mivel a 360 fokos utazás visszahozza a kiindulópontot, összevarrhatja a függőleges vonalakat, ahol x nulla fok van és hol x 360 fokos. Ebből henger keletkezik. A henger nem tükrözi közvetlenül a fizikai valóságot – nem az inga által nyomon követett útvonalakat mutatja –, hanem minden pontja az inga egy adott állapotát jelzi. A henger az inga által követhető utakat meghatározó törvényekkel együtt szimplektikus teret alkot.

A 17. század eleje óta, amikor Johannes Kepler megfogalmazta törvényeit, a fizikusok és a matematikusok határozottan tudják, hogyan írják le két, gravitációnak kitett test mozgását. Attól függően, hogy milyen gyorsan mozognak, útjaik ellipszist, parabolát vagy hiperbolát alkotnak. A megfelelő szimplektikus terek bonyolultabbak, mint az ingáké, de még mindig kezelhetők. De egy harmadik objektum bevezetése lehetetlenné teszi a pontos, analitikus megoldások kiszámítását. És ez csak bonyolultabb lesz, ha több testet ad hozzá a modellhez. „Az analitikus betekintés nélkül szinte mindig, valamilyen szinten a sötétbe lőni” – mondta Scheeres.

Egy űrhajónak, amely bármilyen irányba szabadon mozoghat – jobbról balra, fel és le, illetve elölről hátra – három koordináta szükséges a helyzetének, és három további koordináta a sebességének leírásához. Ez egy hatdimenziós szimlektikus teret alkot. Három test, például a Jupiter, az Európa és egy űrhajó mozgásának leírásához 18 dimenzióra van szükség: testenként hat. A tér geometriáját nemcsak a dimenziók száma határozza meg, hanem azok a görbék is, amelyek azt mutatják, hogy a leírt fizikai rendszer hogyan fejlődik az idő múlásával.

Moreno és Koh a háromtestű probléma „korlátozott” változatán dolgozott, ahol az egyik test (az űrhajó) olyan kicsi, hogy nincs hatással a másik kettőre (a Jupiterre és az Európára). A dolgok további egyszerűsítése érdekében a kutatók azt feltételezték, hogy a Hold pályája tökéletesen kör alakú. A körkörös pályáját stabil háttérnek tekintheti, amelyhez képest figyelembe veszi az űrszonda útját. A szimplektikus térnek csak az űrhajó helyzetével és sebességével kell számolnia, mivel a Jupiter és az Európa mozgása könnyen leírható. Tehát ahelyett, hogy 18-dimenziós lenne, a megfelelő szimplektikus tér hatdimenziós. Amikor egy út ebben a hatdimenziós térben hurkot képez, az az űrhajó periodikus pályáját jelenti a bolygó-hold rendszeren keresztül.

Amikor Koh kapcsolatba lépett Morenóval, kíváncsi volt azokra az esetekre, amikor egy kis energia hozzáadásával az űrhajó pályája egyik családról a másikra ugrik. Ezeket a pályacsaládok találkozási pontjait bifurkációs pontoknak nevezzük. Gyakran sok család találkozik egy helyen. Ez különösen hasznossá teszi őket a pályatervezők számára. "A bifurkációs szerkezet megértése egy ütemtervet ad arra vonatkozóan, hogy hol vannak érdekes pályák, amelyeket érdemes megnézni" - mondta Scheeres. Koh tudni akarta, hogyan lehet azonosítani és megjósolni a bifurkációs pontokat.

Miután meghallotta Kohot, Moreno besorozott néhány másik geometriát: Urs Frauenfelder az Augsburgi Egyetemen, Cengiz Aydin a Heidelbergi Egyetemen, és Otto van Koert a Szöuli Nemzeti Egyetemen. Frauenfelder és van Koert régóta tanulmányozták a három test problémáját szimplektikus geometria segítségével. akár feltárva potenciális új pályacsalád. Ám bár az űrrepülőgép-küldetéseket tervező mérnökök számtalan matematikai eszközt használtak, az elmúlt évtizedekben elrettentette őket a szimplektikus geometria növekvő absztrakciója.

A következő hónapok során a mérnök és a négy matematikus lassan megtanulta egymás területeit. „Ha interdiszciplináris munkát végez, beletelik egy kis időbe, hogy túllépjen a nyelvi korlátokon” – mondta Moreno. – De miután elvégezte a türelmes munkát, kezd kifizetődni.

Az Eszköztár

A csapat számos olyan eszközt állított össze, amelyek reményeik szerint hasznosak lesznek a küldetéstervezők számára. Az egyik eszköz a Conley-Zehnder index nevű szám, amely segíthet meghatározni, hogy két pálya ugyanahhoz a családhoz tartozik-e. Kiszámításához a kutatók olyan pontokat vizsgálnak, amelyek közel vannak a vizsgálni kívánt pályához, de nem azon. Képzeljük el például, hogy egy űrszonda elliptikus pályán halad a Jupiter körül, amelyet az Európából érkező gravitáció befolyásol. Ha letaszítja az útjából, az új pályája az eredeti pályát fogja utánozni, de csak nyersen. Az új út az eredeti pálya körül fog spirálisan körbefutni, és egy kicsit más pontra tér vissza, miután megkerüli a Jupitert. A Conley-Zehnder index azt méri, hogy mekkora a spirálozás.

Meglepő módon a Conley-Zehnder index nem függ az űrhajó lökésének sajátosságaitól – ez egy szám, amely a teljes pályára vonatkozik. Sőt, ugyanazon a családon belül minden pályán ugyanaz. Ha kiszámítja a Conley-Zehnder indexet két pályára, és két különböző számot kap, biztos lehet benne, hogy a pályák különböző családokból származnak.

Egy másik eszköz, a Floer-szám, utalhat még fel nem fedezett pályacsaládokra. Tegyük fel, hogy több család ütközik egy bifurkációs ponton, amikor az energia elér egy bizonyos számot, és több család ágazik ki ebből a bifurkációs pontból, amikor az energia magasabb. Ez olyan családok hálóját alkotja, amelyek központi csomópontja a bifurkáció.

Kiszámíthatja az ehhez a bifurkációs ponthoz tartozó Floer-számot az egyes releváns családokhoz társított Conley-Zehnder indexek egyszerű függvényeként. Kiszámíthatja ezt a függvényt mindazon családokra, amelyek energiája csak egy kicsit kisebb, mint a bifurkációs pont, és olyan családokra, amelyek energiája nagyobb. Ha a két Floer-szám különbözik, ez arra utal, hogy rejtett családok kapcsolódnak a bifurkációs ponthoz.

„Azt csináljuk, hogy olyan eszközöket biztosítunk, amelyekkel a mérnökök tesztelik az algoritmusaikat” – mondta Moreno. Az új eszközöket elsősorban arra tervezték, hogy segítsenek a mérnököknek megérteni, hogyan illeszkednek egymáshoz a pályák családjai, és arra késztetik őket, hogy indokolt esetben új családokat keressenek; nem helyettesíti az évtizedek óta csiszolt pályakereső technikákat.

2023-ban Moreno bemutatta a munkát egy konferencián, amelyet a „Űrrepülési Mechanikai Bizottság”, és kapcsolatba került az űrpályákat kutató mérnökökkel, köztük a JPL-ben és Scheeres boulderi laboratóriumában. Scheeres üdvözölte a mezők keveredését: Régóta tudott a bolygómozgás szimplektikus megközelítéséről, de matematikailag úgy érezte, hogy nincs mélysége. „Igazán izgalmas volt látni, hogy a matematikusok megpróbálták a szakértelmüket a mérnöki oldalra vinni” – mondta. Scheeres csoportja most egy összetettebb rendszeren dolgozik, amelyben négy szerv vesz részt.

Ed Belbruno, egy pályatervezési tanácsadó (és a JPL korábbi orbitális elemzője), aki Frauenfelderrel dolgozott, arra figyelmeztet, hogy az alkalmazások nem közvetlenek. „Bár egy matematikai technika, például a szimplektikus geometria nagyon klassz trajektóriákat tud felmutatni, és ezekből egy csomót kapunk, előfordulhat, hogy nagyon-nagyon kevés teljesíti azt a korlátot, amelyre egy igazi küldetésnek szüksége lehet. , ő mondta.

Bár a Clipper pályái már nagyrészt rendezettek, Moreno a következő bolygóra néz: a Szaturnuszra. Kutatásait már bemutatta a JPL küldetéstervezőinek, akik azt remélik, hogy űrhajót küldhetnek a Szaturnusz Enceladus holdjára. Moreno reméli, hogy a szimplektikus geometria „a szabványos űrmissziós eszköztár részévé válik”.