در ماه اکتبر، یک موشک فالکون هوی قرار است از کیپ کاناورال در فلوریدا پرتاب شود که حامل ماموریت اروپا کلیپر ناسا است. این ماموریت 5 میلیارد دلاری برای کشف این موضوع طراحی شده است که آیا اروپا، چهارمین قمر بزرگ مشتری، می تواند حیات را پشتیبانی کند یا خیر. اما از آنجایی که اروپا دائماً توسط تشعشعات شدید ایجاد شده توسط میدان مغناطیسی مشتری بمباران می شود، فضاپیمای کلیپر نمی تواند به دور خود ماه بچرخد. در عوض، به مداری غیرعادی به دور مشتری می‌لغزد و با چرخش مکرر اروپا - در مجموع 53 بار - قبل از عقب‌نشینی از بدترین تابش، داده‌ها را جمع‌آوری می‌کند. هر بار که فضاپیما به دور مشتری می‌چرخد، مسیر آن کمی متفاوت خواهد بود و اطمینان حاصل می‌کند که می‌تواند عکس بگیرد و داده‌ها را از قطب‌های اروپا تا خط استوا جمع‌آوری کند.

برای برنامه‌ریزی تورهای پیچیده مانند این، برنامه‌ریزان مسیر از مدل‌های رایانه‌ای استفاده می‌کنند که به طور دقیق مسیر را یک مرحله در یک زمان محاسبه می‌کنند. این برنامه ریزی صدها مورد از الزامات ماموریت را در نظر می گیرد و با دهه ها تحقیق ریاضی در مدارها و نحوه پیوستن آنها به تورهای پیچیده تقویت شده است. ریاضیدانان اکنون در حال توسعه ابزارهایی هستند که امیدوارند بتوان از آنها برای ایجاد درک سیستماتیک تری از نحوه ارتباط مدارها با یکدیگر استفاده کرد.

آنچه ما داریم، محاسبات قبلی است که انجام داده‌ایم، که ما را راهنمایی می‌کند، همانطور که محاسبات فعلی را انجام می‌دهیم. اما این تصویر کاملی از همه گزینه‌های ما نیست.» دانیل شیرس، مهندس هوافضا در دانشگاه کلرادو، بولدر.

دایونگ کوه، مهندس آزمایشگاه پیشرانه جت ناسا، می گوید: «فکر می کنم این بزرگترین ناامیدی من در دوران دانشجویی بود. من می دانم که این مدارها آنجا هستند، اما نمی دانم چرا. با توجه به هزینه و پیچیدگی ماموریت‌ها به قمرهای مشتری و زحل، ندانستن چرا مدارها در جایی که هستند یک مشکل است. اگر مداری کاملاً متفاوت وجود داشته باشد که بتواند کار را با منابع کمتر انجام دهد، چه؟ همانطور که کوه گفت: "آیا همه آنها را پیدا کردم؟ آیا بیشتر وجود دارد؟ من نمی توانم این را بگویم.»

پس از اخذ دکترای خود از دانشگاه کالیفرنیای جنوبی در سال 2016، کو به چگونگی فهرست بندی مدارها در خانواده ها علاقه مند شد. مدارهای جووین که دور از اروپا هستند، چنین خانواده ای را تشکیل می دهند. همینطور مدارهای نزدیک به اروپا. اما خانواده های دیگر کمتر آشکار هستند. به عنوان مثال، برای هر دو جسم، مانند مشتری و اروپا، یک نقطه میانی وجود دارد که در آن اثرات گرانشی دو جسم برای ایجاد نقاط پایدار تعادل برقرار می کند. فضاپیماها می توانند به دور این نقطه بچرخند، حتی اگر چیزی در مرکز مدار وجود نداشته باشد. این مدارها خانواده ای به نام مدارهای لیاپانوف را تشکیل می دهند. با شلیک موتور فضاپیما کمی انرژی به چنین مداری اضافه کنید و در ابتدا در همان خانواده خواهید ماند. اما به اندازه کافی اضافه کنید، و به خانواده دیگری خواهید رسید - مثلاً خانواده ای که مشتری را در مدارهایش قرار می دهد. برخی از خانواده‌های مداری ممکن است به سوخت کمتری نسبت به سایرین نیاز داشته باشند، همیشه در معرض نور خورشید باشند یا ویژگی‌های مفید دیگری داشته باشند.

در سال 2021، Koh به مقاله ای برخورد کرد که در مورد چگونگی دست و پنجه نرم کردن با مدارهای پر هرج و مرج از منظر هندسه ساده، یک رشته انتزاعی از ریاضی که به طور کلی از جزئیات آشفته دنیای واقعی فاصله دارد، بحث می کرد. او شروع به شک کرد که هندسه ساده ممکن است ابزار مورد نیاز برای درک بهتر مدارها را داشته باشد و با او تماس گرفت. آگوستین مورنو، نویسنده مقاله. مورنو که در آن زمان دانشجوی فوق دکترا در دانشگاه اوپسالا در سوئد بود، از شنیدن اینکه شخصی در ناسا به کار او علاقه مند است، متعجب و خوشحال شد. او گفت: «این غیرمنتظره بود، اما همچنین بسیار جالب و در عین حال انگیزه‌بخش بود.

این دو با هم شروع به کار کردند و به دنبال استفاده از تکنیک های انتزاعی مورنو در منظومه مشتری-اروپا و زحل و قمر آن انسلادوس بودند که مانند اروپا ممکن است در اقیانوس زیرزمینی خود حیات داشته باشند. در سال گذشته به همراه سایر همکاران مجموعه ای از مقالات نوشته اند که یک چارچوب ایجاد کنید برای مدارهای فهرست نویسی. در ژانویه، مورنو، که اکنون استاد دانشگاه هایدلبرگ است، پیش نویس اولیه ای را تکمیل کرد که مقاله نظرسنجی او را به یک مقاله تبدیل کرد کتاب در مورد این موضوع. با این کتاب، او می‌خواهد زمینه انتزاعی هندسه ساده را برای مهندسانی که در تلاش برای برنامه‌ریزی مأموریت‌های فضایی هستند مفید کند. اگر او موفق شود، زمینه های تحقیقی را که در طول قرن ها از هم جدا شده اند، دوباره متحد می کند.

جاده سلطنتی به هندسه وجود ندارد

هندسه سمپلتیک ریشه در فیزیک دارد. برای مثال ساده، یک آونگ را تصور کنید. حرکت آن را می توان با دو پارامتر توصیف کرد: زاویه و سرعت. اگر سرعت به اندازه کافی کم باشد، آونگ به سمت جلو و عقب نوسان می کند. اگر سرعت بیشتر باشد، به صورت دایره ای به دور خود می چرخد. در یک آونگ ایده آل بدون اصطکاک، هنگامی که زاویه شروع و سرعت را انتخاب کردید، رفتار سیستم برای همیشه مشخص می شود.

شما می توانید یک نمودار با زاویه به عنوان ایجاد کنید xمحور و سرعت به عنوان y-محور. اما از آنجایی که سفر 360 درجه شما را به شروع باز می گرداند، می توانید خطوط عمودی را به هم بدوزید. x صفر درجه و کجاست x 360 درجه است. این یک سیلندر می سازد. استوانه مستقیماً واقعیت فیزیکی را منعکس نمی کند - مسیرهایی را که آونگ ردیابی می کند را نشان نمی دهد - بلکه هر نقطه روی آن حالت خاصی از آونگ را نشان می دهد. استوانه، همراه با قوانینی که مسیرهایی را که آونگ می تواند طی کند، تعیین می کند، یک فضای ساده را تشکیل می دهد.

از اوایل قرن هفدهم، زمانی که یوهانس کپلر قوانین خود را تدوین کرد، فیزیکدانان و ریاضیدانان درک محکمی در مورد چگونگی توصیف حرکت دو جسم در معرض گرانش داشتند. بسته به سرعت حرکت آنها، مسیرهای آنها یک بیضی، سهمی یا هذلولی تشکیل می دهد. فضاهای سمپلتیک مربوطه پیچیده تر از فضاهای آونگ هستند، اما همچنان قابل کشش هستند. اما معرفی یک شیء سوم، حل های دقیق و تحلیلی را غیرممکن می کند. و فقط اگر بدنه های بیشتری به مدل اضافه کنید پیچیده تر می شود. Scheeres گفت: "بدون آن بینش تحلیلی، شما تقریبا همیشه در سطحی به سمت تاریکی تیراندازی می کنید."

فضاپیمایی که می تواند آزادانه در هر جهت حرکت کند - از راست به چپ، بالا و پایین، و از جلو به عقب - برای توصیف موقعیت خود به سه مختصات و برای توصیف سرعت خود به سه مختصات دیگر نیاز دارد. این یک فضای ساده شش بعدی می سازد. برای توصیف حرکت سه جسم، مانند مشتری، اروپا و یک فضاپیما، به 18 بعد نیاز دارید: شش بعد در هر جسم. هندسه فضا نه تنها با تعداد ابعادی که دارد، بلکه با منحنی هایی که نشان می دهد چگونه سیستم فیزیکی توصیف شده در طول زمان تکامل می یابد، تعریف می شود.

مورنو و کوه روی یک نسخه «محدود» از مشکل سه جسمی کار کردند که در آن یکی از اجسام (سفینه فضایی) آنقدر کوچک است که هیچ تأثیری بر دو بدن دیگر (مشتری و اروپا) ندارد. برای ساده‌تر کردن مسائل، محققان فرض کردند که مدار ماه کاملاً دایره‌ای است. می‌توانید مدار دایره‌ای آن را به‌عنوان پس‌زمینه ثابتی در نظر بگیرید تا مسیر کاوشگر فضایی را در نظر بگیرید. فضای ساده فقط باید موقعیت و سرعت فضاپیما را در نظر بگیرد، زیرا حرکت مشتری و اروپا به راحتی قابل توصیف است. بنابراین به جای اینکه 18 بعدی باشد، فضای سمپلتیک مربوطه شش بعدی است. هنگامی که یک مسیر در این فضای شش بعدی یک حلقه تشکیل می دهد، نشان دهنده یک مدار دوره ای فضاپیما از طریق سیستم سیاره-ماه است.

زمانی که کوه با مورنو تماس گرفت، در مورد مواردی کنجکاو شد که افزودن اندکی انرژی باعث می‌شود مدار فضاپیما از خانواده‌ای به خانواده دیگر بپرد. به این نقاط ملاقات بین خانواده مدارها، نقاط انشعاب می گویند. اغلب بسیاری از خانواده ها در یک نقطه ملاقات می کنند. این باعث می شود آنها به ویژه برای برنامه ریزان مسیر مفید باشند. Scheeres گفت: "درک ساختار انشعاب به شما یک نقشه راه می دهد که کجا مسیرهای جالبی وجود دارد که باید به آنها نگاه کنید." Koh می خواست بداند چگونه نقاط انشعاب را شناسایی و پیش بینی کند.

مورنو پس از شنیدن از کوه، چند هندسه‌سنج دیگر را به خدمت گرفت: اورس فراونفلدر از دانشگاه آگسبورگ، چنگیز آیدین از دانشگاه هایدلبرگ و اتو ون کورت دانشگاه ملی سئول Frauenfelder و van Koert مدتهاست که مسئله سه جسم را با استفاده از هندسه ساده مطالعه کرده بودند. حتی کشف کردن یک خانواده جدید بالقوه از مدارها اما اگرچه مهندسان برنامه‌ریزی برای مأموریت‌های فضاپیما از ابزارهای ریاضی بی‌شماری استفاده کرده‌اند، در دهه‌های اخیر با افزایش انتزاع هندسه ساده دلهره شده‌اند.

در طول ماه های بعد، مهندس و چهار ریاضیدان به آرامی در مورد رشته های یکدیگر یاد گرفتند. مورنو گفت: «وقتی در حال انجام کارهای بین رشته ای هستید، مثلاً از موانع زبانی عبور کنید، مدتی طول می کشد. "اما بعد از اینکه کار صبورانه را انجام دادید، شروع به نتیجه می کند."

جعبه ابزار

این تیم تعدادی ابزار را گردآوری کرد که امیدوارند برای برنامه ریزان ماموریت مفید باشد. یکی از ابزارها عددی به نام شاخص Conley-Zehnder است که می تواند به تعیین اینکه دو مدار متعلق به یک خانواده هستند کمک کند. برای محاسبه آن، محققان نقاطی را بررسی می‌کنند که نزدیک به مداری هستند که می‌خواهند مطالعه کنند، اما نه در آن. به عنوان مثال، تصور کنید که یک فضاپیما در حال دنبال کردن مداری بیضی شکل به دور مشتری است که تحت تأثیر گرانش اروپا قرار دارد. اگر آن را از مسیر خود خارج کنید، مسیر جدید آن از مدار اصلی تقلید خواهد کرد، اما فقط به طور خام. مسیر جدید به دور مدار اصلی مارپیچ خواهد رفت و پس از چرخش مشتری به نقطه ای کمی متفاوت باز خواهد گشت. شاخص Conley-Zehnder اندازه گیری میزان حرکت مارپیچی است.

با کمال تعجب، شاخص Conley-Zehnder به ویژگی‌های نحوه حرکت فضاپیما بستگی ندارد - این عددی است که با کل مدار مرتبط است. علاوه بر این، برای همه مدارهای یک خانواده یکسان است. اگر شاخص Conley-Zehnder را برای دو مدار محاسبه کنید و دو عدد متفاوت به دست آورید، می توانید مطمئن باشید که مدارها از خانواده های مختلفی هستند.

ابزار دیگری به نام عدد فلور می تواند به خانواده های ناشناخته مدارها اشاره کند. فرض کنید وقتی انرژی به عدد خاصی برخورد می کند چندین خانواده در یک نقطه انشعاب با هم برخورد می کنند و وقتی انرژی بیشتر است چندین خانواده دیگر از آن نقطه انشعاب منشعب می شوند. این شبکه ای از خانواده ها را تشکیل می دهد که مرکز مرکزی آنها دوشاخه است.

شما می توانید عدد فلور مربوط به این نقطه انشعاب را به عنوان تابعی ساده از شاخص های Conley-Zehnder مرتبط با هر خانواده مربوطه محاسبه کنید. شما می توانید این تابع را هم برای همه خانواده هایی که انرژی کمی کمتر از نقطه انشعاب دارند و هم برای خانواده هایی که انرژی آنها بزرگتر است محاسبه کنید. اگر دو عدد فلور با هم تفاوت داشته باشند، این نشانه ای است که خانواده های پنهانی به نقطه انشعاب شما مرتبط هستند.

مورنو گفت: «کاری که ما انجام می‌دهیم ارائه ابزارهایی است که مهندسان الگوریتم‌های خود را بر اساس آن‌ها آزمایش می‌کنند. ابزارهای جدید در درجه اول برای کمک به مهندسان طراحی شده‌اند تا بفهمند خانواده‌های مدارها چگونه با هم هماهنگ می‌شوند و آنها را تشویق می‌کنند تا در صورت لزوم به دنبال خانواده‌های جدید بگردند. قرار نیست تکنیک‌های مسیریابی را که طی دهه‌ها به کار گرفته شده‌اند، جایگزین کند.

در سال 2023، مورنو این اثر را به کنفرانسی ارائه کرد که توسط "کمیته مکانیک پرواز فضاییو او با مهندسانی که در مورد مسیرهای فضایی تحقیق می کنند، از جمله برخی در آزمایشگاه JPL و Scheeres در Boulder در تماس بوده است. Scheeres از درهم آمیختگی میدان ها استقبال کرد: او مدت ها در مورد رویکرد ساده به حرکت سیاره ها می دانست، اما از نظر ریاضی از عمق خود خارج شد. او گفت: "این واقعا هیجان انگیز بود که می دیدم ریاضیدانان تلاش می کنند تخصص خود را در بخش مهندسی پایین بیاورند." گروه Scheeres اکنون بر روی یک سیستم پیچیده تر که شامل چهار بدن است کار می کند.

اد بلبرونو، یک مشاور برنامه ریزی مسیر (و تحلیلگر مداری سابق JPL) که با Frauenfelder کار کرده است، هشدار می دهد که برنامه ها مستقیم نیستند. «اگرچه یک تکنیک ریاضی مانند هندسه سمپلتیک می‌تواند مسیرهایی را ارائه دهد که واقعاً جالب هستند، و شما تعداد زیادی از آنها را به دست می‌آورید، ممکن است تعداد بسیار کمی از آنها محدودیت‌هایی را که ممکن است یک مأموریت واقعی به آن نیاز داشته باشد برآورده کند». ، او گفت.

اگرچه مسیرهای کلیپر تا حد زیادی ثابت شده است، مورنو به دنبال سیاره بعدی است: زحل. او قبلاً تحقیقات خود را به برنامه ریزان ماموریت در JPL ارائه کرده است که امیدوارند یک فضاپیما به قمر انسلادوس زحل بفرستند. مورنو امیدوار است که هندسه ساده "به بخشی از ابزار استاندارد ماموریت فضایی تبدیل شود."