معماهای مقیاس تعادل در ریاضیات تفریحی فراوان هستند. عنصر اساسی ترازوی تعادل دو تشت ساده است - a اصلی تجارت در طول هزاره ها هنوز در بازارهای روستایی شلوغ در کشورهای در حال توسعه یافت می شود. ساده ترین نسخه ها از یک تیر فلزی تشکیل شده است که از آن دو تشت در فواصل مساوی از تکیه گاه مرکزی یا تکیه گاه آویزان است.

ترازو دوتایی یک شی نمادین و عاشقانه در علم و هنر است. در علم، این اساس مفهوم اولیه انسان از وزن بوده است که از اولین لحظه "اورکا" شروع می شود - کشف پیروزمندانه ارشمیدس (حتی اگر او در واقع "اورکا" را فریاد نکرد) از اصل وزن و جرم او، منجر به تعادل تحلیلی دقیق مورد استفاده در شیمی و در نهایت به نظریه اتمی دالتون. در هنر و علوم انسانی، ترازوی دو تایی در تعادل باشکوه نماد تعادل، برابری و در نتیجه عدالت است.

در ریاضیات تفریحی، مقیاس تعادل منبع بی پایانی از پازل است که در آن اشیاء، به طور کلی سکه ها، در برابر یکدیگر متعادل می شوند تا سکه های تقلبی را در بین آنها پیدا کنند. سکه های تقلبی یا سنگین تر یا سبک تر از سکه های واقعی هستند. این پازل ها ابزارهای آموزشی ریاضی عالی هستند - آنها به منطق دقیق و پیچیده نیاز دارند که نیاز به بررسی جزئیات همه احتمالات دارد. علاوه بر این، آنها اصول کلی تعمیم را آموزش می دهند، که به طور طبیعی منجر به پیگیری فرمول هایی می شود تا توضیح دهند که چگونه تعداد سکه هایی که می توانید با موفقیت جستجو کنید نسبت به تعداد دفعاتی که مجاز به وزن کردن سکه ها هستید تغییر می کند. و در نهایت، شما می توانید تنوع بی شماری از این پازل ها را با افزودن انواع شرایط به ترکیب ایجاد کنید.

در اینجا برخی از مشکلات مورد علاقه من وجود دارد که با دو کلاسیک شروع می شود و سپس سه تغییر با عوارض اضافه می شود. در هر مورد، شما همیشه می توانید به دنبال یک فرمول کلی بگردید، حتی اگر به صراحت از آن خواسته نشده باشد.

توجه داشته باشید که در تمام این پازل ها، وزن های استانداردی برای سکه های واقعی ارائه نمی کنیم. شما باید سکه ها را با یکدیگر وزن کنید. همچنین فرض بر این است که ترازو به اندازه کافی حساس است تا یک سکه سبک یا سنگین را در بین سکه های استاندارد تشخیص دهد.

پازل 1

شما هشت سکه با ظاهر یکسان دارید. یکی تقلبی و سبکتر از بقیه است که وزن آنها یکسان است. سکه بد را در دو وزن پیدا کنید. فرمول کلی حداکثر تعداد سکه هایی را که می توانید سکه های تقلبی را در آنها پیدا کنید، پیدا کنید x توزین ها

پازل 2

شما 12 سکه با ظاهر یکسان دارید. یکی از آنها سنگین‌تر یا سبک‌تر از بقیه است که وزن‌های یکسانی دارند.

1. سکه بد را در سه وزن پیدا کنید.
2. حداکثر تعداد سکه هایی که می توانید در چهار توزین برای آنها سکه بد پیدا کنید چقدر است؟ توضیح دهید که چگونه سکه جعلی را پیدا می کنید.

پازل 3

این یک تنوع از پازل 1 است. شما دوباره هشت سکه با ظاهر یکسان دارید که یکی از آنها سبکتر از بقیه است. با این حال، اکنون شما سه ترازو دارید. دو تا از ترازوها کار می کنند، اما سومی شکسته است و نتایج تصادفی می دهد (گاهی درست و گاهی اشتباه است). شما نمی دانید کدام ترازو شکسته است. برای یافتن سکه سبک چند وزن لازم است؟

پازل 4

شما 16 سکه دارید که هشت تای آنها سنگین و هم وزن هستند. هشت مورد دیگر سبک و هم وزن هستند. شما نمی دانید کدام سکه سنگین است یا سبک. سکه ها یکسان به نظر می رسند به جز سکه ای که علامت های خاصی دارد. با یک ترازو خوب می توانید بفهمید که سکه مخصوص در سه توزین سبک است یا سنگین؟ حداکثر تعداد سکه هایی که می توانید با آن شروع کنید و این مشکل را در چهار وزن با موفقیت حل کنید چقدر است؟

به همان اندازه که پاسخ دادن به این سؤالات سرگرم کننده است، شرایط تحمیل شده در پازل های مقیاس تعادل همیشه به نظرم دلخواه بوده است. چگونه می توانید بدانید که دقیقا یک سکه بد وجود دارد؟ این فکر مرا به آخرین سوال معمایی مان رساند.

پازل 5

شما باید n سکه هایی با ظاهر یکسان که برخی از آنها تقلبی و سبک تر از بقیه هستند. تنها چیزی که می دانید این است که حداقل یک سکه تقلبی وجود دارد و تعداد سکه های معمولی بیشتر از سکه های تقلبی است. وظیفه شما شناسایی تمام سکه های تقلبی است.

دنباله اعداد صحیح را برای ردیابی تعداد سکه هایی که می توانید با موفقیت جستجو کنید، ایجاد کنید، زیرا تعداد وزن ها از صفر افزایش می یابد. ممکن است یک ورودی جدید برای دایره المعارف آنلاین توالی اعداد صحیح (OEIS)؟ یا از قبل شناخته شده است؟

واضح است که می‌توانیم راه‌هایی برای آزمایش ترکیب بی‌پایانی از سکه‌ها پیدا کنیم. اگر نوع مورد علاقه ای دارید که بینش ریاضی متفاوتی را برجسته می کند، لطفاً آن را در بخش نظرات زیر پست کنید.

گیج کننده شاد، و متعادل بمانید!

یادداشت سردبیر: خواننده‌ای که جالب‌ترین، خلاقانه‌ترین یا روشن‌کننده‌ترین راه‌حل را (بر اساس داوری ستون‌نویس) در بخش نظرات ارائه کند، یک مجله Quanta تی شرت یا یکی از این دو کوانتوم کتاب ها آلیس و باب با دیوار آتش ملاقات می کنند or توطئه شماره اول (انتخاب برنده). و اگر می‌خواهید یک پازل مورد علاقه را برای ستون Insights آینده پیشنهاد دهید، آن را به عنوان یک نظر در زیر ارسال کنید، با علامت واضح «پیشنهاد پازل جدید». (آن به صورت آنلاین ظاهر نمی شود، بنابراین راه حل های پازل بالا باید به طور جداگانه ارائه شود.)