Τα παζλ σε κλίμακα ισορροπίας αφθονούν στα ψυχαγωγικά μαθηματικά. Το βασικό στοιχείο είναι η ταπεινή ζυγαριά ισορροπίας δύο ταψιών — α βασικό στοιχείο του εμπορίου κατά τη διάρκεια των χιλιετιών που εξακολουθεί να βρίσκεται σε πολυσύχναστα αγροτικά παζάρια στον αναπτυσσόμενο κόσμο. Οι απλούστερες εκδόσεις αποτελούνται από μια μεταλλική δοκό από την οποία κρέμονται δύο ταψιά σε ίσες αποστάσεις από το κεντρικό στήριγμα ή το υπομόχλιο.
Η ζυγαριά ισορροπίας διπλού ταψιού είναι ένα εμβληματικό και ρομαντικό αντικείμενο στην επιστήμη και την τέχνη. Στην επιστήμη, ήταν η βάση της πρωτόγονης αντίληψης της ανθρωπότητας για το βάρος ξεκινώντας από την πρώτη στιγμή «Εύρηκα» — η θριαμβευτική ανακάλυψη του Αρχιμήδη (ακόμα κι αν στην πραγματικότητα δεν φώναξε «Εύρηκα») της αρχής του βάρους και μάζας, που οδηγεί σε ακριβείς αναλυτικές ισορροπίες που χρησιμοποιούνται στη χημεία και τελικά σε Η ατομική θεωρία του Dalton. Στην τέχνη και τις ανθρωπιστικές επιστήμες, μια ζυγαριά με δύο ταψιά σε επιβλητική ισορροπία είναι σύμβολο ισορροπίας, ισότητας και, κατ' επέκταση, δικαιοσύνης.
Στα ψυχαγωγικά μαθηματικά, η κλίμακα ισορροπίας είναι μια ατελείωτη πηγή παζλ στα οποία τα αντικείμενα, γενικά τα νομίσματα, ισορροπούν μεταξύ τους προκειμένου να βρεθούν τα πλαστά νομίσματα ανάμεσά τους. Τα πλαστά νομίσματα είναι είτε βαρύτερα είτε ελαφρύτερα από τα αληθινά. Αυτά τα παζλ είναι εξαιρετικά εργαλεία εκπαίδευσης μαθηματικών — απαιτούν ακριβή και περίπλοκη λογική που απαιτεί λεπτομερή σκέψη όλων των πιθανοτήτων. Επιπλέον, διδάσκουν τις βασικές αρχές της γενίκευσης, οδηγώντας φυσικά στην αναζήτηση τύπων για να περιγράψουν πώς αλλάζει ο αριθμός των νομισμάτων που μπορείτε να αναζητήσετε επιτυχώς σε σχέση με τον αριθμό των φορών που επιτρέπεται να ζυγίζετε τα νομίσματα. Και τέλος, μπορείτε να δημιουργήσετε αμέτρητες παραλλαγές αυτών των παζλ προσθέτοντας κάθε είδους συνθήκες στο μείγμα.
Εδώ είναι μερικά από τα αγαπημένα μου τέτοια προβλήματα, ξεκινώντας με δύο κλασικά, ακολουθούμενα από τρεις παραλλαγές με πρόσθετες επιπλοκές. Σε κάθε περίπτωση, μπορείτε πάντα να αναζητήσετε μια γενική φόρμουλα, ακόμα και όταν δεν ζητείται ρητά.
Σημειώστε ότι σε όλα αυτά τα παζλ, δεν παρέχουμε τυπικά βάρη για τα πραγματικά νομίσματα. Πρέπει να ζυγίζετε τα νομίσματα το ένα με το άλλο. Επίσης, θεωρείται ότι η ισορροπία είναι αρκετά ευαίσθητη ώστε να ανιχνεύει ένα ελαφρύ ή βαρύ νόμισμα μεταξύ των τυπικών.
Παζλ 1
Έχετε οκτώ πανομοιότυπα νομίσματα. Το ένα είναι πλαστό και ελαφρύτερο από τα άλλα, που έχουν τα ίδια βάρη. Βρείτε το κακό νόμισμα σε δύο ζυγίσματα. Βρείτε τον γενικό τύπο για τον μέγιστο αριθμό κερμάτων στα οποία μπορείτε να βρείτε το πλαστό x ζυγίσεις.
Παζλ 2
Έχετε 12 πανομοιότυπα νομίσματα. Το ένα είναι είτε βαρύτερο είτε ελαφρύτερο από τα άλλα, που έχουν τα ίδια βάρη.
- Βρείτε το κακό νόμισμα σε τρία ζυγίσματα.
- Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός κερμάτων για τα οποία μπορείτε να βρείτε το κακό σε τέσσερις ζυγίσεις; Περιγράψτε πώς θα βρείτε το ψεύτικο νόμισμα.
Παζλ 3
Αυτή είναι μια παραλλαγή του παζλ 1. Έχετε και πάλι οκτώ πανομοιότυπα νομίσματα, ένα από τα οποία είναι ελαφρύτερο από τα άλλα. Ωστόσο, τώρα έχετε τρεις κλίμακες. Δύο από τις κλίμακες λειτουργούν, αλλά η τρίτη είναι σπασμένη και δίνει τυχαία αποτελέσματα (άλλοτε είναι σωστό και άλλοτε λάθος). Δεν ξέρεις ποια ζυγαριά έχει σπάσει. Πόσα ζυγίσματα θα χρειαστούν για να βρεθεί το ελαφρύ νόμισμα;
Παζλ 4
Έχετε 16 νομίσματα, οκτώ από τα οποία είναι βαριά και του ίδιου βάρους. Τα άλλα οκτώ είναι ελαφριά και του ίδιου βάρους. Δεν ξέρετε ποια νομίσματα είναι βαριά ή ελαφριά. Τα νομίσματα φαίνονται πανομοιότυπα εκτός από ένα που έχει ειδικές σημάνσεις. Με μια καλή ζυγαριά, μπορείτε να καταλάβετε αν το ειδικό νόμισμα είναι ελαφρύ ή βαρύ σε τρία ζυγίσματα; Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός κερμάτων με τον οποίο μπορείτε να ξεκινήσετε και να λύσετε με επιτυχία αυτό το πρόβλημα σε τέσσερις ζυγίσεις;
Όσο διασκεδαστικό κι αν είναι να απαντάς σε αυτές τις ερωτήσεις, οι συνθήκες που επιβάλλονται σε παζλ κλίμακας ισορροπίας μου φαίνονταν πάντα αυθαίρετες. Πώς μπορείτε να ξέρετε ότι υπάρχει ακριβώς ένα κακό νόμισμα; Αυτή η σκέψη με οδήγησε στην τελευταία μας ερώτηση παζλ.
Παζλ 5
έχετε n όμοια νομίσματα, μερικά από τα οποία είναι πλαστά και ελαφρύτερα από τα άλλα. Το μόνο που γνωρίζετε είναι ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα πλαστό νόμισμα και ότι υπάρχουν περισσότερα κανονικά νομίσματα από πλαστά. Η δουλειά σας είναι να εντοπίσετε όλα τα πλαστά νομίσματα.
Κατασκευάστε την ακέραια ακολουθία που παρακολουθεί τον αριθμό των νομισμάτων που μπορείτε να αναζητήσετε με επιτυχία καθώς ο αριθμός των ζυγίσεων αυξάνεται από το μηδέν. Θα μπορούσε να είναι μια νέα καταχώρηση για το Ηλεκτρονική Εγκυκλοπαίδεια Ακέραιων Ακολουθιών (ΟΕΙΣ); Ή είναι ήδη γνωστό;
Σαφώς, θα μπορούσαμε να βρούμε τρόπους για να δοκιμάσουμε έναν ατελείωτο συνδυασμό νομισμάτων. Εάν έχετε μια αγαπημένη παραλλαγή που υπογραμμίζει μια διαφορετική μαθηματική εικόνα, μη διστάσετε να τη δημοσιεύσετε στην παρακάτω ενότητα σχολίων.
Καλή αινιγματική και μείνετε ισορροπημένοι!
Σημείωση του συντάκτη: Ο αναγνώστης που υποβάλλει την πιο ενδιαφέρουσα, δημιουργική ή διορατική λύση (όπως κρίνεται από τον αρθρογράφο) στην ενότητα σχολίων θα λάβει Quanta Magazine Κοντομάνικη μπλούζα ή ένα από τα δύο Quanta βιβλία, Η Άλις και ο Μπομπ συναντούν τον τοίχο της φωτιάς or Η πρωταρχική συνωμοσία αριθμών (επιλογή νικητή). Και αν θέλετε να προτείνετε ένα αγαπημένο παζλ για μια μελλοντική στήλη Insights, υποβάλετε το ως σχόλιο παρακάτω, με σαφή ένδειξη "ΝΕΑ ΠΡΟΒΟΛΗ ΠΑΖΛ." (Δεν θα εμφανίζεται στο διαδίκτυο, οπότε οι λύσεις στο παραπάνω παζλ πρέπει να υποβάλλονται ξεχωριστά.)
