Στα μέσα της δεκαετίας του 1980, όπως τα κασετόφωνα Walkman και τα πουκάμισα με γραβάτα, η σιλουέτα του σετ Mandelbrot ήταν παντού.

Οι μαθητές το σοβάτισαν στους τοίχους των κοιτώνων σε όλο τον κόσμο. Οι μαθηματικοί έλαβαν εκατοντάδες γράμματα, ανυπόμονα αιτήματα για εκτυπώσεις του σετ. (Σε απάντηση, ορισμένοι από αυτούς παρήγαγαν καταλόγους, με τιμοκαταλόγους· άλλοι συνέταξαν τα πιο εντυπωσιακά χαρακτηριστικά του σε βιβλία.) Περισσότεροι λάτρεις της τεχνολογίας θα μπορούσαν να στραφούν στο τεύχος Αυγούστου 1985 του Scientific American. Στο εξώφυλλό του, το σύνολο Mandelbrot ξεδιπλώθηκε σε πύρινες έλικες, με τα σύνορά του να φλέγονται. μέσα υπήρχαν προσεκτικές οδηγίες προγραμματισμού, που περιγράφουν λεπτομερώς πώς οι αναγνώστες θα μπορούσαν να δημιουργήσουν την εικονική εικόνα για τον εαυτό τους.

Μέχρι τότε, αυτά τα τρυπάνια είχαν επίσης επεκτείνει την εμβέλειά τους πολύ πέρα ​​από τα μαθηματικά, σε φαινομενικά άσχετες γωνιές της καθημερινής ζωής. Μέσα στα επόμενα χρόνια, το σετ Mandelbrot θα ενέπνευσε τους νεότερους πίνακες του David Hockney και τις νεότερες συνθέσεις αρκετών μουσικών — κομμάτια που μοιάζουν με φούγκα στο στυλ του Bach. Θα εμφανιζόταν στις σελίδες της μυθοπλασίας του John Updike και θα καθοδηγούσε πώς ο κριτικός λογοτεχνίας Hugh Kenner ανέλυσε την ποίηση του Ezra Pound. Θα γινόταν θέμα ψυχεδελικών παραισθήσεων και ενός δημοφιλούς ντοκιμαντέρ που αφηγείται ο σπουδαίος επιστημονικής φαντασίας Άρθουρ Σ. Κλαρκ.

Το σετ Mandelbrot είναι ένα ιδιαίτερο σχήμα, με φράκταλ περίγραμμα. Χρησιμοποιήστε έναν υπολογιστή για να κάνετε μεγέθυνση στο οδοντωτό όριο του σετ και θα συναντήσετε κοιλάδες με ιππόκαμπους και παρελάσεις ελεφάντων, σπειροειδείς γαλαξίες και νήματα που μοιάζουν με νευρώνες. Ανεξάρτητα από το πόσο βαθιά εξερευνάτε, θα βλέπετε πάντα σχεδόν αντίγραφα του αρχικού σετ — έναν άπειρο, ιλιγγιώδη καταρράκτη αυτοομοιότητας.

Αυτή η ομοιότητα με τον εαυτό ήταν βασικό στοιχείο του βιβλίου του Τζέιμς Γκλάικ με τις μεγαλύτερες πωλήσεις Χάος, που εδραίωσε τη θέση του σετ Mandelbrot στη λαϊκή κουλτούρα. «Διατηρούσε ένα σύμπαν ιδεών», έγραψε ο Gleick. «Μια μοντέρνα φιλοσοφία της τέχνης, μια δικαίωση του νέου ρόλου του πειραματισμού στα μαθηματικά, ένας τρόπος να φέρουμε σύνθετα συστήματα ενώπιον ενός μεγάλου κοινού».

Το σετ Mandelbrot είχε γίνει σύμβολο. Αντιπροσώπευε την ανάγκη για μια νέα μαθηματική γλώσσα, έναν καλύτερο τρόπο για να περιγράψουμε τη φύση του φράκταλ του κόσμου γύρω μας. Έδειξε πόσο βαθιά πολυπλοκότητα μπορεί να προκύψει από τους απλούστερους κανόνες - όπως η ίδια η ζωή. («Είναι λοιπόν ένα πραγματικό μήνυμα ελπίδας», Τζον Χάμπαρντ, ένας από τους πρώτους μαθηματικούς που μελέτησαν το σύνολο, είπε σε ένα βίντεο του 1989, «ότι η βιολογία μπορεί να γίνει πραγματικά κατανοητή με τον ίδιο τρόπο που μπορούν να γίνουν κατανοητές αυτές οι εικόνες».) Στο σύνολο του Mandelbrot, η τάξη και το χάος ζούσαν σε αρμονία. Ο ντετερμινισμός και η ελεύθερη βούληση θα μπορούσαν να συμβιβαστούν. Ένας μαθηματικός θυμήθηκε ότι σκόνταψε στο σετ ως έφηβος και το είδε ως μεταφορά για το περίπλοκο όριο μεταξύ αλήθειας και ψεύδους.

Το σετ Mandelbrot ήταν παντού, μέχρι που δεν ήταν.

Μέσα σε μια δεκαετία, φαινόταν να εξαφανίζεται. Οι μαθηματικοί προχώρησαν σε άλλα θέματα και το κοινό προχώρησε σε άλλα σύμβολα. Σήμερα, μόλις 40 χρόνια μετά την ανακάλυψή του, το φράκταλ έχει γίνει ένα κλισέ, οριακό κιτς.

Αλλά μια χούφτα μαθηματικοί αρνήθηκαν να το αφήσουν να φύγει. Έχουν αφιερώσει τη ζωή τους για να αποκαλύψουν τα μυστικά του σετ Mandelbrot. Τώρα, νομίζουν ότι είναι επιτέλους στα πρόθυρα να το καταλάβουν πραγματικά.

Η ιστορία τους είναι μια ιστορία εξερεύνησης, πειραματισμού - και πώς η τεχνολογία διαμορφώνει τον τρόπο που σκεφτόμαστε και τις ερωτήσεις που θέτουμε για τον κόσμο.

Οι Κυνηγοί Επικηρυγμένων

Τον Οκτώβριο του 2023, 20 μαθηματικοί από όλο τον κόσμο συγκεντρώθηκαν σε ένα οκλαδόν κτήριο από τούβλα σε αυτό που κάποτε ήταν μια δανική στρατιωτική ερευνητική βάση. Η βάση, που χτίστηκε στα τέλη του 1800 στη μέση του δάσους, ήταν κρυμμένη σε ένα φιόρδ στη βορειοδυτική ακτή του πολυπληθέστερου νησιού της Δανίας. Μια παλιά τορπίλη φύλαγε την είσοδο. Ασπρόμαυρες φωτογραφίες, που απεικονίζουν αξιωματικούς του ναυτικού με στολή, βάρκες παρατεταγμένες σε μια αποβάθρα και δοκιμές υποβρυχίων σε εξέλιξη, κοσμούσαν τους τοίχους. Για τρεις ημέρες, καθώς ένας σφοδρός άνεμος χτύπησε το νερό έξω από τα παράθυρα σε αφρισμένα άσπρα καπάκια, η ομάδα συμμετείχε σε μια σειρά ομιλιών, οι περισσότερες από αυτές από δύο μαθηματικούς από το Πανεπιστήμιο Stony Brook στη Νέα Υόρκη: Μίσα Λιούμπιτς και Ντίμα Ντούντκο.

Στο κοινό του εργαστηρίου ήταν μερικοί από τους πιο ατρόμητους εξερευνητές του σετ Mandelbrot. Κοντά στο μπροστινό μέρος κάθισε Mitsuhiro Shishikura του Πανεπιστημίου του Κιότο, ο οποίος στη δεκαετία του 1990 απέδειξε ότι τα όρια του σετ είναι όσο περίπλοκα μπορεί να είναι. Λίγες θέσεις ήταν πάνω Hiroyuki Inou, ο οποίος μαζί με τον Shishikura ανέπτυξε σημαντικές τεχνικές για τη μελέτη μιας ιδιαίτερα υψηλού προφίλ περιοχής του συνόλου Mandelbrot. Στην τελευταία σειρά ήταν Wolf Jung, ο δημιουργός του Mandel, του λογισμικού που χρησιμοποιούν οι μαθηματικοί για τη διαδραστική διερεύνηση του συνόλου Mandelbrot. Παρόντες ήταν επίσης Arnaud Chéritat του Πανεπιστημίου της Τουλούζης, Κάρστεν Πίτερσεν του Πανεπιστημίου Roskilde (που οργάνωσε το εργαστήριο) και αρκετών άλλων που είχαν συμβάλει σημαντικά στην κατανόηση των μαθηματικών για το σύνολο του Mandelbrot.

Και στον πίνακα στέκονταν ο Lyubich, ο κορυφαίος ειδικός στον κόσμο στο θέμα, και ο Dudko, ένας από τους στενότερους συνεργάτες του. Μαζί με τους μαθηματικούς Τζέρεμι Καν και Άλεξ Καπιάμπα, εργάζονται για να αποδείξουν μια μακροχρόνια εικασία σχετικά με τη γεωμετρική δομή του συνόλου Mandelbrot. Αυτή η εικασία, γνωστή ως MLC, είναι το τελευταίο εμπόδιο στην προσπάθεια δεκαετιών να χαρακτηριστεί το φράκταλ, να δαμάσει την μπερδεμένη ερημιά του.

Χτίζοντας και ακονίζοντας ένα ισχυρό σύνολο εργαλείων, οι μαθηματικοί έχουν παλέψει τον έλεγχο της γεωμετρίας «σχεδόν τα πάντα στο σύνολο Mandelbrot», είπε. Καρολάιν Ντέιβις του Πανεπιστημίου της Ιντιάνα — εκτός από μερικές υπόλοιπες περιπτώσεις. «Ο Misha και ο Dima και ο Jeremy και ο Alex είναι σαν κυνηγοί επικηρυγμένων που προσπαθούν να εντοπίσουν αυτούς τους τελευταίους».

Ο Lyubich και ο Dudko ήταν στη Δανία για να ενημερώσουν άλλους μαθηματικούς σχετικά με την πρόσφατη πρόοδο προς την απόδειξη του MLC και τις τεχνικές που είχαν αναπτύξει για να το κάνουν. Τα τελευταία 20 χρόνια, ερευνητές έχουν συγκεντρωθεί εδώ για εργαστήρια αφιερωμένα στην αποσυσκευασία των αποτελεσμάτων και των μεθόδων στον τομέα της σύνθετης ανάλυσης, της μαθηματικής μελέτης των ειδών αριθμών και συναρτήσεων που χρησιμοποιούνται για τη δημιουργία του συνόλου Mandelbrot.

Ήταν ένα ασυνήθιστο στήσιμο: οι μαθηματικοί έτρωγαν όλα τα γεύματά τους μαζί και μιλούσαν και γελούσαν πίνοντας μπίρες μέχρι τις πρώτες πρωινές ώρες. Όταν τελικά αποφάσισαν να κοιμηθούν, αποσύρθηκαν σε κουκέτες ή κούνιες σε μικρά δωμάτια που μοιράζονταν στον δεύτερο όροφο της εγκατάστασης. (Μετά την άφιξή μας, μας είπαν να αρπάξουμε σεντόνια και μαξιλαροθήκες από ένα σωρό και να τα ανεβούμε για να φτιάξουμε τα κρεβάτια μας.) Κάποια χρόνια, οι συμμετέχοντες στο συνέδριο κολυμπούσαν με θάρρος στο παγωμένο νερό. πιο συχνά, περιπλανιούνται στο δάσος. Αλλά ως επί το πλείστον, δεν υπάρχει τίποτα να κάνουμε εκτός από τα μαθηματικά.

Χαρακτηριστικά, μου είπε ένας από τους παρευρισκόμενους, το εργαστήριο προσελκύει πολλούς νεότερους μαθηματικούς. Αλλά αυτό δεν συνέβη αυτή τη φορά - ίσως επειδή ήταν τα μέσα του εξαμήνου, ή, υπέθεσε, λόγω του πόσο δύσκολο ήταν το θέμα. Εξομολογήθηκε ότι εκείνη τη στιγμή ένιωθε λίγο τρομοκρατημένος για την προοπτική να δώσει μια ομιλία μπροστά σε τόσους μεγάλους του χώρου.

Αλλά δεδομένου ότι οι περισσότεροι μαθηματικοί στον ευρύτερο τομέα της σύνθετης ανάλυσης δεν εργάζονται πλέον απευθείας στο σύνολο Mandelbrot, γιατί να αφιερώσουμε ένα ολόκληρο εργαστήριο στο MLC;

Το σύνολο Mandelbrot είναι κάτι περισσότερο από ένα φράκταλ, και όχι μόνο με μεταφορική έννοια. Χρησιμεύει ως ένα είδος κύριου καταλόγου δυναμικών συστημάτων — όλων των διαφορετικών τρόπων με τους οποίους ένα σημείο μπορεί να κινηθεί στο χώρο σύμφωνα με έναν απλό κανόνα. Για να κατανοήσει κανείς αυτόν τον κύριο κατάλογο, πρέπει να διασχίσει πολλά διαφορετικά μαθηματικά τοπία. Το σύνολο Mandelbrot σχετίζεται βαθιά όχι μόνο με τη δυναμική, αλλά και με τη θεωρία των αριθμών, την τοπολογία, την αλγεβρική γεωμετρία, τη θεωρία ομάδων και ακόμη και τη φυσική. «Αλληλεπιδρά με τα υπόλοιπα μαθηματικά με όμορφο τρόπο», είπε Sabyasachi Mukherjee του Tata Institute of Fundamental Research στην Ινδία.

Για να σημειώσουν πρόοδο στο MLC, οι μαθηματικοί έπρεπε να αναπτύξουν ένα εξελιγμένο σύνολο τεχνικών - αυτό που ο Chéritat αποκαλεί «μια ισχυρή φιλοσοφία». Αυτά τα εργαλεία έχουν συγκεντρώσει μεγάλη προσοχή. Σήμερα αποτελούν κεντρικό πυλώνα στη μελέτη των δυναμικών συστημάτων ευρύτερα. Αποδείχθηκαν κρίσιμα για την επίλυση πολλών άλλων προβλημάτων — προβλήματα που δεν έχουν καμία σχέση με το σύνολο του Mandelbrot. Και έχουν μετατρέψει το MLC από μια εξειδικευμένη ερώτηση σε μια από τις βαθύτερες και πιο σημαντικές ανοιχτές εικασίες του πεδίου.

Ο Lyubich, ο μαθηματικός αναμφισβήτητα ο πιο υπεύθυνος για τη διαμόρφωση αυτής της «φιλοσοφίας» στη σημερινή της μορφή, στέκεται ψηλός και ίσιος και μιλάει ήσυχα. Όταν άλλοι μαθηματικοί στο εργαστήριο τον πλησιάζουν για να συζητήσουν μια ιδέα ή να κάνουν μια ερώτηση, κλείνει τα μάτια του και ακούει προσεκτικά, με τα πυκνά του φρύδια ραγισμένα. Απαντά προσεκτικά, με ρώσικη προφορά.

Αλλά είναι επίσης γρήγορος να ξεσπάσει σε δυνατά, ζεστά γέλια και να κάνει αστεία αστεία. Είναι γενναιόδωρος με τον χρόνο και τις συμβουλές του. «Έχει γαλουχήσει πραγματικά αρκετές γενιές μαθηματικών», είπε ο Mukherjee, ένας από τους πρώην μεταδιδάκτορες του Lyubich και συχνός συνεργάτης του. Όπως λέει, όποιος ενδιαφέρεται για τη μελέτη της σύνθετης δυναμικής περνάει λίγο χρόνο στο Stony Brook μαθαίνοντας από τον Lyubich. «Ο Misha έχει αυτό το όραμα για το πώς πρέπει να προχωρήσουμε σε ένα συγκεκριμένο έργο ή τι να δούμε στη συνέχεια», είπε ο Mukherjee. «Έχει αυτή τη μεγάλη εικόνα στο μυαλό του. Και είναι στην ευχάριστη θέση να το μοιραστεί αυτό με τους ανθρώπους».

Για πρώτη φορά, ο Lyubich αισθάνεται ότι μπορεί να δει αυτή τη μεγάλη εικόνα στο σύνολό της.

Οι Μαχητές του Βραβείου

Το σετ Mandelbrot ξεκίνησε με ένα έπαθλο.

Το 1915, με κίνητρο την πρόσφατη πρόοδο στη μελέτη των συναρτήσεων, η Γαλλική Ακαδημία Επιστημών ανακοίνωσε έναν διαγωνισμό: Σε τρία χρόνια, θα πρόσφερε ένα μεγάλο βραβείο 3,000 φράγκων για εργασία στη διαδικασία της επανάληψης — την ίδια τη διαδικασία που θα αργότερα δημιουργήσει το σύνολο Mandelbrot.

Η επανάληψη είναι η επαναλαμβανόμενη εφαρμογή ενός κανόνα. Συνδέστε έναν αριθμό σε μια συνάρτηση και, στη συνέχεια, χρησιμοποιήστε την έξοδο ως την επόμενη είσοδο. Συνεχίστε να το κάνετε αυτό και παρατηρήστε τι συμβαίνει με τον καιρό. Καθώς συνεχίζετε να επαναλαμβάνετε τη συνάρτησή σας, οι αριθμοί που λαμβάνετε ενδέχεται να αυξηθούν γρήγορα προς το άπειρο. Ή μπορεί να έλκονται προς έναν αριθμό συγκεκριμένα, όπως τα ρινίσματα σιδήρου που κινούνται προς έναν μαγνήτη. Ή καταλήγουν να αναπηδούν μεταξύ των ίδιων δύο αριθμών, ή τριών ή χιλίων, σε μια σταθερή τροχιά από την οποία δεν μπορούν ποτέ να ξεφύγουν. Ή μεταπηδήστε από τον έναν αριθμό στον άλλο χωρίς ομοιοκαταληξία ή λόγο, ακολουθώντας ένα χαοτικό, απρόβλεπτο μονοπάτι.

Η Γαλλική Ακαδημία, και οι μαθηματικοί ευρύτερα, είχαν έναν άλλο λόγο να ενδιαφέρονται για την επανάληψη. Η διαδικασία έπαιξε σημαντικό ρόλο στη μελέτη δυναμικών συστημάτων - συστήματα όπως η περιστροφή πλανητών γύρω από τον ήλιο ή η ροή ενός τυρβώδους ρεύματος, συστήματα που αλλάζουν με την πάροδο του χρόνου σύμφωνα με κάποιο καθορισμένο σύνολο κανόνων.

Το βραβείο ενέπνευσε δύο μαθηματικούς να αναπτύξουν ένα εντελώς νέο πεδίο σπουδών.

Πρώτος ήταν ο Pierre Fatou, ο οποίος σε μια άλλη ζωή μπορεί να ήταν ναυτικός (μια οικογενειακή παράδοση), αν δεν ήταν η κακή υγεία του. Αντίθετα, ακολούθησε μια καριέρα στα μαθηματικά και την αστρονομία, και μέχρι το 1915 είχε ήδη αποδείξει αρκετά σημαντικά αποτελέσματα στην ανάλυση. Μετά ήταν ο Γκαστόν Τζούλια, ένας πολλά υποσχόμενος νεαρός μαθηματικός που γεννήθηκε στην κατεχόμενη από τους Γάλλους Αλγερία, του οποίου οι σπουδές διακόπηκαν από τον Α' Παγκόσμιο Πόλεμο και τη στρατολόγηση του στον γαλλικό στρατό. Σε ηλικία 22 ετών, αφού υπέστη σοβαρό τραυματισμό λίγο μετά την έναρξη της υπηρεσίας του - θα φορούσε ένα δερμάτινο λουράκι στο πρόσωπό του για το υπόλοιπο της ζωής του, αφού οι γιατροί δεν κατάφεραν να επιδιορθώσουν τη ζημιά - επέστρεψε στα μαθηματικά, κάνοντας μερικά από το έργο που θα υπέβαλλε για το βραβείο της Ακαδημίας από νοσοκομειακό κρεβάτι.

Το βραβείο παρακίνησε τόσο τη Φάτου όσο και τη Τζούλια να μελετήσουν τι συμβαίνει όταν επαναλαμβάνετε συναρτήσεις. Εργάστηκαν ανεξάρτητα, αλλά κατέληξαν να κάνουν πολύ παρόμοιες ανακαλύψεις. Υπήρχε τόση αλληλεπικάλυψη στα αποτελέσματά τους που ακόμη και τώρα, δεν είναι πάντα σαφές πώς να εκχωρηθεί η πίστωση. (Η Τζούλια ήταν πιο εξωστρεφής και γι' αυτό έλαβε περισσότερη προσοχή. Κατέληξε να κερδίσει το βραβείο· ο Φάτου δεν έκανε καν αίτηση.) Λόγω αυτής της δουλειάς, οι δύο θεωρούνται πλέον οι ιδρυτές του τομέα της σύνθετης δυναμικής.

«Μιγαδικός», επειδή ο Φάτου και η Τζούλια επανέλαβαν συναρτήσεις μιγαδικών αριθμών — αριθμοί που συνδυάζουν έναν οικείο πραγματικό αριθμό με έναν λεγόμενο φανταστικό αριθμό (πολλαπλάσιο του i, το σύμβολο που χρησιμοποιούν οι μαθηματικοί για να δηλώσουν την τετραγωνική ρίζα του −1). Ενώ οι πραγματικοί αριθμοί μπορούν να οριστούν ως σημεία σε μια ευθεία, οι μιγαδικοί αριθμοί οπτικοποιούνται ως σημεία σε ένα επίπεδο, όπως:

Η Fatou και η Julia διαπίστωσαν ότι η επανάληψη ακόμη και απλών σύνθετων συναρτήσεων (όχι παράδοξο στη σφαίρα των μαθηματικών!) θα μπορούσε να οδηγήσει σε πλούσια και περίπλοκη συμπεριφορά, ανάλογα με το σημείο εκκίνησης. Άρχισαν να τεκμηριώνουν αυτές τις συμπεριφορές και να τις αναπαριστούν γεωμετρικά.

Στη συνέχεια όμως το έργο τους έσβησε στην αφάνεια για μισό αιώνα. «Οι άνθρωποι δεν ήξεραν καν τι να ψάξουν. Περιορίζονταν στο τι ερωτήσεις να κάνουν», είπε Αρτούρ Αβίλα, καθηγητής στο Πανεπιστήμιο της Ζυρίχης.

Αυτό άλλαξε όταν τα γραφικά υπολογιστών άρχισαν να ενηλικιώνονται τη δεκαετία του 1970.

Μέχρι τότε, ο μαθηματικός Benoît Mandelbrot είχε αποκτήσει τη φήμη του ακαδημαϊκού ντιλέταντου. Είχε ασχοληθεί με πολλούς διαφορετικούς τομείς, από την οικονομία μέχρι την αστρονομία, ενώ εργαζόταν στο ερευνητικό κέντρο της IBM βόρεια της Νέας Υόρκης. Όταν διορίστηκε υπότροφος της IBM το 1974, είχε ακόμη μεγαλύτερη ελευθερία να επιδιώκει ανεξάρτητα έργα. Αποφάσισε να εφαρμόσει τη σημαντική υπολογιστική ισχύ του κέντρου για να βγάλει σύνθετες δυναμικές από την κατάσταση αδρανοποίησης.

Στην αρχή, ο Mandelbrot χρησιμοποίησε τους υπολογιστές για να δημιουργήσει τα είδη των σχημάτων που είχαν μελετήσει η Fatou και η Julia. Οι εικόνες κωδικοποιούσαν πληροφορίες για το πότε ένα σημείο εκκίνησης, όταν επαναλαμβανόταν, θα διαφεύγει στο άπειρο και πότε θα παγιδευόταν σε κάποιο άλλο μοτίβο. Τα σχέδια της Fatou και της Julia από 60 χρόνια νωρίτερα έμοιαζαν με συστάδες κύκλων και τριγώνων - αλλά οι εικόνες που δημιουργήθηκαν από υπολογιστή που έκανε ο Mandelbrot έμοιαζαν με δράκους και πεταλούδες, κουνέλια και καθεδρικούς ναούς και κεφάλια κουνουπιδιού, μερικές φορές ακόμη και αποσυνδεμένα σύννεφα σκόνης. Μέχρι τότε, ο Mandelbrot είχε ήδη επινοήσει τη λέξη «fractal» για σχήματα που έμοιαζαν σε διαφορετικές κλίμακες. η λέξη προκάλεσε την έννοια ενός νέου είδους γεωμετρίας — κάτι κατακερματισμένο, κλασματικό ή σπασμένο.

Οι εικόνες που εμφανίστηκαν στην οθόνη του υπολογιστή του - σήμερα γνωστές ως σετ Julia - ήταν μερικά από τα πιο όμορφα και περίπλοκα παραδείγματα φράκταλ που είχε δει ποτέ ο Mandelbrot.

Το έργο της Fatou και της Julia είχε επικεντρωθεί στη γεωμετρία και τη δυναμική καθενός από αυτά τα σύνολα (και τις αντίστοιχες λειτουργίες τους) ξεχωριστά. Αλλά οι υπολογιστές έδωσαν στον Mandelbrot έναν τρόπο να σκεφτεί μια ολόκληρη οικογένεια λειτουργιών ταυτόχρονα. Μπορούσε να τα κωδικοποιήσει όλα στην εικόνα που θα φέρει το όνομά του, αν και παραμένει θέμα συζήτησης αν ήταν πράγματι ο πρώτος που το ανακάλυψε.

Το σύνολο Mandelbrot ασχολείται με τις απλούστερες εξισώσεις που εξακολουθούν να κάνουν κάτι ενδιαφέρον όταν επαναλαμβάνονται. Αυτές είναι τετραγωνικές συναρτήσεις της φόρμας f(z) = z² + c. Διορθώστε μια τιμή του c — μπορεί να είναι οποιοσδήποτε μιγαδικός αριθμός. Εάν επαναλάβετε την εξίσωση ξεκινώντας από z = 0 και βρείτε ότι οι αριθμοί που δημιουργείτε παραμένουν μικροί (ή περιορισμένοι, όπως λένε οι μαθηματικοί), τότε c βρίσκεται στο σετ Mandelbrot. Εάν, από την άλλη πλευρά, επαναλάβετε και διαπιστώσετε ότι τελικά οι αριθμοί σας αρχίσουν να αυξάνονται προς το άπειρο, τότε c δεν είναι στο σετ Mandelbrot.

Είναι απλό να δείξουμε ότι οι τιμές του c κοντά στο μηδέν βρίσκονται στο σύνολο. Και είναι εξίσου απλό να δείξουμε ότι οι μεγάλες αξίες του c δεν είναι. Αλλά οι μιγαδικοί αριθμοί ανταποκρίνονται στο όνομά τους: Τα όρια του συνόλου είναι υπέροχα περίπλοκα. Δεν υπάρχει προφανής λόγος για αλλαγή c κατά μικροσκοπικά ποσά θα πρέπει να σας κάνει να συνεχίσετε να περνάτε τα όρια, αλλά καθώς τα μεγεθύνετε, εμφανίζονται ατελείωτες ποσότητες λεπτομέρειας.

Επιπλέον, το σετ Mandelbrot λειτουργεί σαν ένας χάρτης των σετ Julia. Αξίες του c στο σύνολο Mandelbrot αντιστοιχούν σε συνδεδεμένα σύνολα Julia. Αλλά αν αφήσετε το σετ Mandelbrot, τότε το αντίστοιχο σετ Julia θα αποσυνδεθεί από τη σκόνη.

Η πρώτη δημοσιευμένη εικόνα του συνόλου, μια πρόχειρη πλοκή μόλις δύο εκατοντάδων αστερίσκων, εμφανίστηκε το 1978 σε μια εργασία των μαθηματικών Robert Brooks και J. Peter Matelski, οι οποίοι μελετούσαν μια φαινομενικά άσχετη ερώτηση στη θεωρία ομάδων και την υπερβολική γεωμετρία.

Ο Μάντελμπροτ ήταν αυτός που αναγνώρισε και δημοσιοποίησε το σετ. Αφού χρησιμοποίησε τους υπολογιστές της IBM για να απεικονίσει εκατοντάδες σετ Julia, προσπάθησε να τα αναπαραστήσει όλα ταυτόχρονα. Το 1980, οπλισμένος με πολύ πιο εξελιγμένη υπολογιστική ισχύ από τους Brooks και Matelski, κατέληξε να δημιουργήσει μια πολύ καλύτερη έκδοση του σετ Mandelbrot (αν και ακόμα ακατέργαστη με τα σημερινά πρότυπα). Ερωτεύτηκε αμέσως και αποφάσισε να κάνει το φράκταλ όσο πιο δημόσια εικόνα γινόταν. Αυτός είναι ο λόγος που το σετ πήρε το όνομά του. (Ο ίδιος ο Mandelbrot δεν ήταν δημοφιλής μεταξύ των μαθηματικών, λόγω της συνήθειας του να πηδά από το ένα θέμα στο άλλο χωρίς να αποδεικνύει βαθιά αποτελέσματα, και επειδή ήταν συχνά σκληρός στην προσπάθειά του να λάβει τα εύσημα για ανακαλύψεις όπως το σύνολο Mandelbrot.)

Οι εικόνες στον υπολογιστή τράβηξαν αμέσως την προσοχή ορισμένων από τους βαθύτερους στοχαστές των μαθηματικών. «Όλοι άρχισαν να ενδιαφέρονται πολύ, μόλις μπορέσαμε να δούμε τι συνέβαινε», είπε ο Καπιάμπα, ο οποίος είναι επί του παρόντος μεταδιδάκτορας στο Πανεπιστήμιο Μπράουν.

Κανείς δεν είχε προβλέψει πόσο πλούσιος θα μπορούσε να είναι ο κόσμος των τετραγωνικών εξισώσεων. «Είναι σαν να ανοίγεις ένα γεώδιο, μια απλή πέτρα και μέσα σου βρίσκεις όλους αυτούς τους κρυστάλλους — αυτή την εκπληκτική πολύπλοκη δομή», είπε. Άννα Μπενίνι του Πανεπιστημίου της Πάρμα στην Ιταλία.

«Οι μαθηματικοί είδαν πράγματα που δεν φαντάζονταν πριν», είπε η Άβιλα. «Όλοι σήμερα οφείλουμε πολλά σε αυτές τις εξερευνήσεις».

Μέσα σε λίγα μόλις χρόνια, ο Hubbard και ο μαθηματικός Adrien Douady είχαν αποδείξει έναν τεράστιο αριθμό αποτελεσμάτων τόσο για το σετ Mandelbrot όσο και για τα σετ Julia που αντιπροσώπευε. Αλλά οι αποδείξεις τους ήταν χειρόγραφες, «κυρίως κατανοητές μόνο από τον Douady και εμένα», έγραψε ο Hubbard. Και έτσι το 1983, ο Douady έγραψε και παρέδωσε μια σειρά από διαλέξεις για να εξηγήσει αυτά τα πρώτα αποτελέσματα. Στη συνέχεια, συγκέντρωσε το υλικό από τις διαλέξεις του σε ένα ενιαίο έγγραφο, που ονομάστηκε οι σημειώσεις του Orsay. Σχεδόν 200 σελίδες, έγινε γρήγορα η Βίβλος του πεδίου.

Στις σημειώσεις του Orsay, ο Douady και ο Hubbard απέδειξαν πολλά σημαντικά θεωρήματα που υποκινήθηκαν από τις εικόνες υπολογιστή που είχαν δει. Έδειξαν ότι το σετ Mandelbrot ήταν συνδεδεμένο — ότι μπορείτε να σχεδιάσετε μια γραμμή από οποιοδήποτε σημείο του σετ σε οποιοδήποτε άλλο χωρίς να σηκώσετε το μολύβι σας. Ο Mandelbrot είχε αρχικά υποψιαστεί το αντίθετο: οι πρώτες του εικόνες από το σετ έμοιαζαν με ένα μεγάλο νησί με πολλά μικρά να επιπλέουν σε μια θάλασσα γύρω του. Αλλά αργότερα, αφού είδε φωτογραφίες υψηλότερης ανάλυσης - συμπεριλαμβανομένων εκείνων που χρησιμοποιούσαν χρώμα για να απεικονίσουν πόσο γρήγορα οι εξισώσεις εκτός του σετ πέταξαν στο άπειρο - ο Mandelbrot άλλαξε την εικασία του. Έγινε σαφές ότι αυτά τα μικρά νησάκια συνδέονταν όλα με πολύ λεπτές έλικες. Η εισαγωγή του χρώματος «είναι ένα πολύ κοινό πράγμα, αλλά είναι σημαντικό», είπε Søren Eilers του Πανεπιστημίου της Κοπεγχάγης.

Το ενδιαφέρον του Douady για το σετ του Mandelbrot ήταν μεταδοτικό. Διοργάνωσε περίτεχνα γεύματα, πάρτι και συναυλίες στο διαμέρισμά του και ήταν γνωστό ότι περπατούσε ξυπόλητος στους διαδρόμους των πανεπιστημίων στα οποία δίδασκε στη Γαλλία — και τραγουδούσε δυνατά, δημόσια. (Συχνά τον μπερδεύονταν με έναν λάτρη.) Στα τελευταία του χρόνια, δεν διάβαζε ποτέ μαθηματικά έγγραφα. αντ' αυτού κάλεσε τους συγγραφείς τους να επισκεφθούν και να του εξηγήσουν απευθείας το έργο.

«Θα τον συνέκρινα με ζωγράφους της Αναγέννησης που είχαν μια σχολή μαθητών γύρω τους», είπε. Xavier Buff, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο της Τουλούζης και ένας από τους πρώην διδακτορικούς φοιτητές του Douady. "Ήταν πολύ συναρπαστικό."

Ένα βασικό μέρος των σημειώσεων του Orsay ήταν μια ταπεινή δήλωση που σύντομα θα γινόταν η πιο σημαντική ερώτηση για το σύνολο του Mandelbrot: η εικασία MLC.

 Η MLC υποστηρίζει ότι το σύνολο Mandelbrot δεν είναι απλώς συνδεδεμένο. είναι τοπικά συνδεδεμένο — ανεξάρτητα από το πόσο κάνετε μεγέθυνση στο σετ Mandelbrot, θα μοιάζει πάντα με ένα συνδεδεμένο κομμάτι. Για παράδειγμα, ένας κύκλος συνδέεται τοπικά. Μια εξαιρετικά λεπτή χτένα, από την άλλη, δεν είναι. Αν και ολόκληρο το σχήμα είναι συνδεδεμένο, αν παρακάμψετε τον άξονα και αντ 'αυτού μεγεθύνετε τις άκρες ορισμένων από τα δόντια του, θα δείτε απλώς ένα σωρό ξεχωριστά τμήματα γραμμής.

Παρά το γεγονός ότι ήταν μια απλή δήλωση σχετικά με τη γεωμετρία του σετ Mandelbrot, το MLC απέκτησε γρήγορα τη φήμη ότι είναι απίστευτα σκληρό. Πολλοί μαθηματικοί δίσταζαν να το δουλέψουν. Φαινόταν τόσο τεχνικό και χρονοβόρο — ένα επικίνδυνο πρόβλημα που πρέπει να βάλει κανείς στο στόχαστρο. Περισσότεροι από ένας μαθηματικοί κατέληξαν να εγκαταλείψουν τα μαθηματικά εξαιτίας αυτού. Ο Avila απομακρύνει ενεργά τους μαθητές του από το MLC και τους σχετικούς τομείς έρευνας μέχρι να έχουν χρόνο να μάθουν όλα τα μαθηματικά που απαιτούνται για να σημειώσουν πρόοδο. "Παραθέτω Ο Βασιλιάς των Λιονταριών και πείτε, «Κοίτα, υπάρχει όλη η δυναμική. Το μόνο που μπορείτε να δείτε είναι ο τομέας σας. Αλλά υπάρχει αυτή η σκοτεινή γωνιά που δεν πρέπει να εξερευνήσετε… γιατί αν εξερευνήσετε αυτό το μέρος, παγιδεύεστε και δεν βγαίνετε ποτέ έξω», είπε. "Υπάρχουν τόσα πολλά που πρέπει να μάθεις για να μπεις σε αυτό."

Αλλά κάποιοι μαθηματικοί δεν μπόρεσαν να αντισταθούν.

Μόνο Σύνδεση

Ο Misha Lyubich μεγάλωσε τη δεκαετία του 1960 στο Χάρκοβο, τη δεύτερη μεγαλύτερη πόλη της Ουκρανίας. Ο Στάλιν ήταν νεκρός. Ο Νικίτα Χρουστσόφ κράτησε για λίγο την εξουσία, αλλά σύντομα αντικαταστάθηκε από τον Λεονίντ Μπρέζνιεφ. Η σοβιετική οικονομία άνθισε, μόνο που έμεινε στάσιμη καθώς περνούσε η δεκαετία. Οι εντάσεις με τη Δύση ήταν στο υψηλότερο σημείο όλων των εποχών.

Ο πατέρας του Lyubich ήταν καθηγητής μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο του Kharkiv, η μητέρα του προγραμματίστρια. θυμάται άλλους μαθηματικούς να έρχονται στο σπίτι του όταν ήταν μικρός, όπου τα μαθηματικά ήταν πάντα στον αέρα, ένα συχνό θέμα συζήτησης. «Η ζωή γύρω μου ήταν μαθηματικά», είπε.

Ως Εβραίος στη Σοβιετική Ένωση - όπου «υπήρχαν κρατικές πολιτικές που προσπαθούσαν να εξαλείψουν τους Εβραίους από το να συμμετέχουν ενεργά σε διάφορους τομείς», είπε ο Lyubich - είχε πρόβλημα να πάει σε κορυφαία πανεπιστήμια. Έκανε αίτηση στο Κρατικό Πανεπιστήμιο της Μόσχας αλλά απορρίφθηκε. Παρά το γεγονός ότι ήταν κορυφαίος μαθητής και ένας από τους υψηλότερους συμμετέχοντες στους διακεκριμένους διαγωνισμούς Μαθηματικών της Σοβιετικής Ένωσης, του είπαν ότι δεν είχε περάσει την προφορική του εξέταση. Οι εξεταστές αρνήθηκαν να του πουν πού έκανε λάθος.

Κατέληξε να παρακολουθήσει το Πανεπιστήμιο του Χάρκοβο, ένα από τα κορυφαία προπτυχιακά ιδρύματα που δέχονταν Εβραίους φοιτητές αξιοκρατικά. Ο πατέρας του δίδασκε θέματα που οι μαθητές συνήθως μπορούσαν να βρουν μόνο στα πανεπιστήμια της Μόσχας. (Η Μόσχα ήταν το κέντρο της μαθηματικής προόδου στη Σοβιετική Ένωση.) «Ήταν μια μοναδική ευκαιρία που παρείχε ο πατέρας μου εκείνη την εποχή… να αποκτήσω ένα ευρύτερο όραμα για τα μαθηματικά», είπε ο Lyubich. Ειδικότερα, ο πατέρας του τον ενθάρρυνε να αρχίσει να σκέφτεται προβλήματα σε πολύπλοκη δυναμική - ένα πεδίο που δεν τράβηξε καθόλου την προσοχή στη Σοβιετική Ένωση. «Εκείνη την εποχή, δεν είδαμε κανέναν να εργάζεται σε αυτόν τον τομέα», είπε ο Lyubich. Γρήγορα εθίστηκε: Ήταν εκείνα τα πανεπιστημιακά χρόνια που άρχισε να σκέφτεται τα μαθηματικά «ουσιαστικά ασταμάτητα».

Αν και αποφοίτησε δεύτερος στην τάξη του, δυσκολεύτηκε να μπει σε μεταπτυχιακά προγράμματα. Κατέληξε περισσότερο από 2,000 μίλια μακριά στο Κρατικό Πανεπιστήμιο της Τασκένδης στο Ουζμπεκιστάν, όπου ο πατέρας του είχε συναδέλφους. Συνέχισε να μελετά πολύπλοκη δυναμική, απομονωμένος και αγνοώντας το έργο που έκαναν ο Douady και ο Hubbard στη Γαλλία. «Ήμουν κάπως μόνος», είπε. «Ήταν αρκετά μοναχικό».

Οι φοιτητές του πανεπιστημίου υποχρεούνταν να κάνουν αγροτικές εργασίες κατά τους φθινοπωρινούς μήνες. «Τα πανεπιστήμια ουσιαστικά άδειασαν τον Οκτώβριο και τον Νοέμβριο», είπε ο Lyubich. Και έτσι βρέθηκε να μαζεύει βαμβάκι —το Ουζμπεκιστάν ήταν ο κύριος προμηθευτής βαμβακιού της Σοβιετικής Ένωσης εκείνη την εποχή— στα χωράφια έξω από την Τασκένδη. Από την ανατολή μέχρι τη δύση του ηλίου, σε ζέστη 90 βαθμών, έσκυψε πάνω από τα φυτά, τα οποία στέκονταν μόνο μερικά πόδια ψηλά. Θεωρούσε όμως τον εαυτό του τυχερό. Οι προπτυχιακοί έπρεπε να πληρούν μια ποσόστωση — αρκετά υψηλή ώστε «απαιτούσε δεξιότητες», είπε, και μετατράπηκε σε σπασμωδική εργασία που «δεν θα ήταν δυνατό να κάνω». Οι μεταπτυχιακοί φοιτητές δεν χρειάστηκε.

Και έτσι, «απλώς περπατούσα στα χωράφια με το βαμβάκι και σκεφτόμουν τα μαθηματικά», είπε ο Lyubich. Συγκεκριμένα, άρχισε να σκέφτεται τον χώρο παραμέτρων των μιγαδικών τετραγωνικών εξισώσεων.

Παρόλο που οι πρώτες εικόνες υπολογιστή είχαν ήδη εμφανιστεί στη Δύση, ο Lyubich δεν είχε πρόσβαση σε αυτές. Αντίθετα, τα βασικά χαρακτηριστικά του συνόλου Mandelbrot διαμορφώθηκαν στο μυαλό του - η κεντρική περιοχή του φράκταλ σε σχήμα καρδιάς, που ονομάζεται κύριο καρδιοειδές, και πτυχές της ραχοκοκαλιάς του σετ, που διχοτομεί το σχήμα οριζόντια κατά μήκος του x-άξονας. «Απλώς έφτιαξα μια εικόνα στο μυαλό μου και προσπάθησα να την καταλάβω», είπε. «Δεν είχα ιδέα πόσο βαθιά ήταν οι ερωτήσεις που κρύβονταν μέσα σε αυτήν την εικόνα».

Τον Μάρτιο του 1982 — ενώ ο Lyubich ήταν ακόμη μεταπτυχιακός φοιτητής — Τζον Μίλνορ, ένας από τους πιο διακεκριμένους Αμερικανούς μαθηματικούς της γενιάς του (τότε καθηγητής στο Ινστιτούτο Προηγμένων Μελετών), επισκέφτηκε τη Μόσχα για να δώσει μια ομιλία. Επειδή το πανεπιστήμιο ήταν ευέλικτο σχετικά με το πού περνούσε τον χρόνο του ο Lyubich, όσο ολοκλήρωσε τις εξετάσεις και τη διατριβή του (καθώς και τα καθήκοντά του στη συλλογή βαμβακιού), πήγαινε συχνά στη Μόσχα για να παρακολουθήσει σεμινάρια και να συναντηθεί με μαθηματικούς που εργάζονταν εκεί. Έτυχε να ήταν εκεί όταν επισκέφτηκε ο Μίλνορ. Αφού ο Μίλνορ τελείωσε την ομιλία του, αυτός και ο Λιούμπιτς μίλησαν για λίγο.

Λόγω του γλωσσικού φραγμού, είτε έγραψαν πράγματα είτε έβαλαν έναν από τους συναδέλφους του Lyubich να βοηθήσει στη μετάφραση. Έγινε σαφές στον Lyubich ότι η σχετική δουλειά συνέβαινε στην άλλη πλευρά του Σιδηρού Παραπετάσματος. «Ήταν η πρώτη μου επαφή με τα δυτικά μαθηματικά προς αυτή την κατεύθυνση», είπε.

Αφού επέστρεψε στο σπίτι, ο Μίλνορ διέδωσε τη λέξη για μερικές από τις έρευνες του Λιούμπιτς. «Η επικοινωνία ήταν πολύ κακή, αλλά ήταν καλή μου τύχη που γνώρισα τον Milnor», είπε ο Lyubich. Και έτσι αργότερα, ο Douady έστειλε στον Lyubich ένα αντίγραφο των σημειώσεων του Orsay, όπου ο Lyubich έμαθε για πρώτη φορά για το πρόβλημα MLC.

Ωστόσο, ο Lyubich δεν θα άρχιζε πραγματικά να σκέφτεται το MLC για μερικά ακόμη χρόνια. Εργαζόταν πάνω σε άλλα προβλήματα και αφού ολοκλήρωσε το διδακτορικό του το 1984, μαζί με τη σύζυγό του, επίσης μαθηματικός, μετακόμισαν στο Λένινγκραντ (τώρα Αγία Πετρούπολη), όπου του απαγόρευσαν για άλλη μια φορά τις ακαδημαϊκές εργασίες επειδή ήταν Εβραίος. Τα επόμενα πέντε χρόνια, εργάστηκε αντ' αυτού ως δάσκαλος γυμνασίου, ως προγραμματιστής σε αυτό που αποκαλούσε «οιονεί ερευνητικό ινστιτούτο» (επικεντρωμένο στις ιατρικές τεχνολογίες) και τελικά ως μοντελιστής σε ένα επιστημονικό ινστιτούτο που έκανε ολοκληρωμένες μελέτες την Αρκτική και την Ανταρκτική. Με κάθε νέα δουλειά, πλησίαζε όλο και περισσότερο στο να μπορεί να επικεντρωθεί στα μαθηματικά του ενδιαφέροντα στα δυναμικά συστήματα.

Όλα αυτά τα χρόνια, συνέχισε να εργάζεται στα μαθηματικά του προβλήματα. Παρακολούθησε σεμινάρια, συναντήθηκε με άλλους μαθηματικούς και συνέχισε να παράγει αποτελέσματα. «Δεν σταμάτησα ποτέ», είπε ο Lyubich. «Βλέπεις, αν σταματήσεις, είναι πολύ δύσκολο να συνέλθεις. Δεν πρέπει να σταματήσεις».

Στράγγιζε. Ο Lyubich θυμάται ότι ένιωθε ιδιαίτερα εξαντλημένος αφού δίδασκε σε μαθητές γυμνασίου όλη την ημέρα, για να αναγκάσει τον εαυτό του να περάσει το υπόλοιπο της βραδιάς δουλεύοντας στα μαθηματικά. «Ήμουν απογοητευμένος που δεν μπορούσα να αφοσιωθώ πλήρως στα μαθηματικά, αυτό που ήθελα να κάνω», είπε. Αλλά «αποφάσισα μόνος μου ότι θα κάνω μαθηματικά, ό,τι κι αν γίνει».

«Ήμουν τυχερός που ήρθε η περεστρόικα και μου επέτρεψαν να φύγω», πρόσθεσε. «Δεν ξέρω για πόσο καιρό θα μπορούσα να το συνεχίσω». Το 1989, αυτός και η σύζυγός του έλαβαν βίζα που τους επέτρεπε να εγκαταλείψουν τη Σοβιετική Ένωση ως πρόσφυγες. Με μερικές μόνο εκατοντάδες δολάρια στις τσέπες τους, πήραν το δρόμο τους πρώτα στη Βιέννη, μετά στην Ιταλία, όπου έκαναν αίτηση για να μετακομίσουν στις Ηνωμένες Πολιτείες. Αφού πέρασαν μερικούς μήνες σε έναν καταυλισμό προσφύγων στην Ιταλία, περιμένοντας να διεκπεραιωθούν τα χαρτιά τους -κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου, ο Lyubich έβγαζε επιπλέον εισόδημα δίνοντας διαλέξεις καλεσμένων σε τοπικά πανεπιστήμια- αυτός και η σύζυγός του έφτασαν τελικά στη Νέα Υόρκη. Εκεί, ο Lyubich τον περίμενε μια δουλειά: ο Milnor (με τον οποίο ο Lyubich είχε κρατήσει επαφή) τον είχε προσκαλέσει να εργαστεί στο νέο Ινστιτούτο Μαθηματικών Επιστημών που άρχιζε στο Πανεπιστήμιο Stony Brook.

Ενώ βρισκόταν στην Ιταλία, ο Lyubich απέκτησε πρόσβαση στο email για πρώτη φορά — και εκεί έλαβε ένα email από τον Douady. (Ο Douady ήταν ένας από τους πρώτους υποστηρικτές της χρήσης email για μαθηματικές συζητήσεις και συνεργασίες. «Δούλεψε πολύ ανταλλάσσοντας ιδέες με μακρινούς συνεργάτες, κάτι που ήταν κάτι νέο στη δεκαετία του '80», είπε ο Pierre Lavaurs, ένας από τους πρώην μεταπτυχιακούς φοιτητές του.)

Το email ενημέρωσε τον Lyubich και άλλους μαθηματικούς στο πεδίο ότι ο Jean-Christophe Yoccoz είχε αποδείξει τοπική συνδεσιμότητα σχεδόν σε όλα τα σημεία του συνόλου Mandelbrot: το MLC ήταν αληθές για τις τιμές του c που δεν βρισκόταν μέσα σε μια άπειρη φωλιά από μικρότερα αυτοπαρόμοια αντίγραφα του πλήρους συνόλου. (Αργότερα στον Γιόκοζ θα απονεμηθεί το μετάλλιο Fields, που θεωρείται η υψηλότερη τιμή των μαθηματικών, εν μέρει για αυτό το έργο.)

Στο email, ο Douady συνέχισε λέγοντας ότι η πλήρης λύση για το MLC ήταν προ των πυλών. Δεν ήταν ο μόνος που ένιωθε αισιόδοξος. «Υπήρχαν άνθρωποι που πίστευαν ότι θα μπορούσαν να αντιμετωπίσουν την τοπική συνδεσιμότητα του σετ Mandelbrot μέσα σε λίγα μόνο χρόνια», είπε. Davoud Cheraghi του Imperial College London.

Αντίθετα, παρέμειναν δεκαετίες δουλειάς. Το MLC αποδείχθηκε ότι ήταν ένα πολύ λεπτό, σχεδόν απίθανο δύσκολο πρόβλημα, πάνω στο οποίο μόνο λίγοι μαθηματικοί μπόρεσαν να συνεχίσουν να εργάζονται. Θα απαιτούσε εργαλεία από όλα τα μαθηματικά και την ανάπτυξη μιας νέας θεωρίας που θα άλλαζε για πάντα το πεδίο της σύνθετης δυναμικής.

Πρωτοπορία, οπλισμένος με την επιμονή που ήταν μέρος του μαθηματικού του ταξιδιού καθ' όλη τη διάρκεια, ήταν ο Lyubich.

Μια πόλη μέσα σε μια πόλη

Τείνουμε να θεωρούμε τα μαθηματικά ως την πιο καθαρή από τις επιστήμες — όταν τα σκεφτόμαστε ως επιστήμη. Το θέμα έχει τη φήμη ότι είναι αφηρημένο, αποστασιοποιημένο, καθοδηγούμενο από την ομορφιά και τη λογική. Δεν λερώνει τα χέρια του ούτε ασχολείται με τίποτα τόσο συγκεκριμένο όσο οι «εφαρμογές». (Είναι ακόμη και στο όνομα: Διακρίνουμε τα «καθαρά μαθηματικά» από τα «εφαρμοσμένα μαθηματικά».) Ο τρόπος με τον οποίο γράφονται τα μαθηματικά δεν βοηθά: Συνήθως δημοσιεύονται μόνο οι τελικές αποδείξεις και τα θεωρήματα, όχι η διαδικασία μαιάνδρου που οδήγησε σε αυτά.

Αλλά αυτή είναι μια σύγχρονη αντίληψη των μαθηματικών, που άρχισε να εδραιώνεται μόλις στα τέλη του 19ου αιώνα. Είναι μια αντίληψη που αναπτύχθηκε καθώς οι μαθηματικοί προσπαθούσαν να κάνουν τους ορισμούς τους πιο αυστηρούς και καθώς η σύνταξη επίσημων αποδείξεων έγινε ο μόνος τρόπος για να βρουν δουλειά και να χτίσουν καριέρα. Ενισχύθηκε περαιτέρω στη δεκαετία του 1930, όταν μια ισχυρή, μυστικοπαθής ομάδα μαθηματικών άρχισε να δημοσιεύει κοινή εργασία υπό ψευδώνυμο Nicolas Bourbaki. Το ήθος τους κυριάρχησε στη μαθηματική σκέψη, με την πρόθεση να απογυμνώσουν την πειθαρχία στα θεμέλιά της και να την καταστήσουν όσο το δυνατόν πιο επίσημη.

Ωστόσο, πολύ πριν από αυτό, οι μαθηματικοί -όπως οι φυσικοί ή οι βιολόγοι ή οι χημικοί- βασίζονταν στον πειραματισμό για να ανακαλύψουν και να αποδείξουν νέα φαινόμενα. Έκαναν εικασίες, απέρριψαν υποθέσεις, έψαξαν για μοτίβα με δοκιμή και λάθος. Έκαναν υπολογισμούς, έκαναν παρατηρήσεις, συγκέντρωσαν δεδομένα. Σημείωσαν ομοιότητες, ορισμένους αριθμούς ή ακολουθίες που προέκυψαν σε απροσδόκητα μέρη.

Οι γίγαντες των μαθηματικών του 18ου και του 19ου αιώνα - ο Euler, ο Gauss, ο Riemann - ήταν όλοι πειραματιστές που βασίζονταν σε τεράστιους υπολογισμούς, που έγιναν με κόπο με το χέρι. Ο Gauss υπέθεσε το θεώρημα των πρώτων αριθμών (ένας κρίσιμος τύπος που περιγράφει τον τρόπο κατανομής των πρώτων αριθμών μεταξύ των ακεραίων) έναν αιώνα πριν αποδειχθεί πραγματικά. Αυτό συμβαίνει επειδή, ως έφηβος, σκέφτηκε πίνακες πρώτων αριθμών και αποφάσισε να μετρήσει πόσοι από αυτούς ήταν σε μπλοκ των χιλίων αριθμών, μέχρι το ένα εκατομμύριο. (Αναμφίβολα ο Gauss θα ήταν ευγνώμων για τους σημερινούς υπολογιστές.) Ομοίως, ο Riemann έθεσε την ομώνυμη υπόθεσή του, το μεγαλύτερο ανοιχτό πρόβλημα στα μαθηματικά, μόνο αφού έκανε σελίδες υπολογισμών. Αυτές οι σελίδες δεν ανακαλύφθηκαν για δεκαετίες. Μέχρι τότε, πολλοί μαθηματικοί προανήγγειλαν την υπόθεση Riemann ως παράδειγμα του τι θα μπορούσε να επιτευχθεί μόνο με την «καθαρή σκέψη».

Δεν υπάρχει τέτοιο πράγμα. Κάθε σκέψη, μαθηματική ή άλλη, επηρεάζεται από τον κόσμο γύρω μας, από τις τεχνολογίες και τις φιλοσοφικές κινήσεις και την αισθητική της εποχής μας.

Από αυτή την άποψη, η φιλοσοφία του Μπουρμπάκη - η απαίτησή της για απόλυτη αυστηρότητα και η έμφαση που δίνει σε γενικές δηλώσεις έναντι συγκεκριμένων παραδειγμάτων - αντιπροσώπευε μια παράκαμψη. Η οπτική των μαθηματικών για το Μπουρμπάκι διχάζεται. Κάποιοι ισχυρίζονται ότι έδωσε σε ορισμένα πεδία την απαραίτητη ώθηση προς την αυστηρότητα. Άλλοι λένε ότι ήταν περιοριστικό, κλειστό μυαλό, αποκόπτοντας τα μαθηματικά από άλλες πηγές έμπνευσης.

Από τη δεκαετία του 1970, το εκκρεμές άρχισε να γυρίζει πίσω, ωθούμενο από σύγχρονους υπολογιστές, οι οποίοι έχουν προσφέρει στους μαθηματικούς εντελώς νέους τρόπους για να πειραματιστούν και να παίξουν. «Νομίζω ότι οι άνθρωποι γενικά συμφωνούν ότι το θέμα του Μπουρμπάκι ήταν κάπως λάθος», είπε ο Έιλερς. «Αυτή η πολύ αφηρημένη άποψη, δεν είναι τόσο φιλική προς τον άνθρωπο… απλά δεν πρέπει να εξελιχθεί έτσι το πεδίο».

Στο πειραματικό πνεύμα του Gauss και του Riemann, οι μαθηματικοί έθεσαν ένα από τα πιο διάσημα ανοιχτά προβλήματα του σήμερα - την εικασία Birch και Swinnerton-Dyer, μια ερώτηση σχετικά με τις ελλειπτικές καμπύλες που, εάν λυθούν, συνοδεύεται από ανταμοιβή 1 εκατομμυρίου δολαρίων - μόνο αφού χρησιμοποιήσουν έναν υπολογιστή για να δημιουργούν βουνά δεδομένων. Πολλά άλλα προβλήματα έχουν προκύψει με παρόμοιους τρόπους. «Έτσι φτιάχνεται το λουκάνικο», είπε Roland Roeder του Πανεπιστημίου της Ιντιάνα–Πανεπιστήμιο Purdue Indianapolis. «Δεν είναι τόσο διαφημισμένο όσο θα έπρεπε».

Οι μαθηματικοί έχουν χρησιμοποιήσει υπολογιστές για να αναζητήσουν αντιπαραδείγματα τόσο σε καθιερωμένες εικασίες όσο και σε εκκολαπτόμενες υποθέσεις. Τα έχουν χρησιμοποιήσει για να βρουν και να διορθώσουν λάθη σε παλιές αποδείξεις. Έχουν στραφεί σε αυτούς για να δημιουργήσουν νέες συνδέσεις μεταξύ διαφορετικών πεδίων. Και σε πολλούς τομείς, οι μαθηματικοί έχουν φτάσει να βασίζονται σε υπολογιστές για να κάνουν βασικούς υπολογισμούς και να εκτελέσουν άλλα βήματα στο ίδιο το μαθηματικό επιχείρημα.

Στην περίπτωση του συνόλου Mandelbrot, οι υπολογιστές βοήθησαν στην εκκίνηση ενός ολόκληρου πεδίου.

Για να ακούσουν τους μαθηματικούς να το λένε, οι υπολογιστές τους επέτρεψαν να αντιμετωπίζουν το σύνολο Mandelbrot σαν μια πόλη - έναν φυσικό χώρο για εξερεύνηση. Έχουν περάσει ώρες, μέρες, χρόνια κάνοντας βόλτες στις γειτονιές και στους δρόμους του, χάνονται, εξοικειώνονται με το έδαφος. «Αρχίζεις να καταλαβαίνεις όλο και περισσότερα και κάθε φορά που επιστρέφεις, είναι σαν να επιστρέφεις στο σπίτι», είπε η Λούνα Λομονάκο του Εθνικού Ινστιτούτου Καθαρών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών στη Βραζιλία. «Γίνεται πραγματικά μέρος του εαυτού σου».

Αυτή η εξοικείωση είναι ξεκάθαρη κάθε φορά που μιλάς με μαθηματικούς του χώρου. Πλοηγούνται εύκολα σε διαφορετικά προγράμματα υπολογιστών, μεγεθύνοντας σε συγκεκριμένα σημεία για να δείξουν διαφορετικές ιδιότητες. Ο Dudko περιγράφει αυτές τις εικόνες ως «σαν μια γλώσσα σε πολύπλοκη δυναμική». Ο Buff μπορεί να προβλέψει ακριβώς πού πιστεύει ότι θα εμφανιστεί ένα μικρό αντίγραφο του σετ προτού γίνει ορατό, ακριβώς με βάση το πώς φαίνονται ορισμένα κλαδιά και έλικες. Κάποτε ζητήθηκε από τον Chéritat να αναπαράγει μια αφίσα δεκαετιών μιας περιοχής βαθιά μέσα στο σύνολο του Mandelbrot, χωρίς καμία πρόσθετη πληροφορία — και το έκανε. Ο Douady θα μπορούσε προφανώς να κοιτάξει ένα σετ της Julia και να ξέρει ποια αξία c στο σετ Mandelbrot προήλθε. Ο Χάμπαρντ εξακολουθεί να αναφέρεται στα σύνολα της Τζούλια ως «παλιούς φίλους».

«Η μελέτη του σετ Mandelbrot είναι πραγματικά σαν ένα πειραματικό πεδίο των μαθηματικών. Αισθάνεται σχεδόν σαν ένα εφαρμοσμένο πεδίο των μαθηματικών, σε αντίθεση με ένα καθαρό πεδίο των μαθηματικών», είπε ο Καπιάμπα. «Απλώς παίρνετε κάτι που υπάρχει εκεί έξω και μετά προσπαθείτε να το αναλύσετε και να το αναλύσετε με τρόπο που για μένα να αισθάνομαι ότι έχετε κάποιο φυσικό φαινόμενο που προσπαθείτε να αποκαλύψετε».

«Δεν είναι κάτι που δημιουργείς. Είναι κάτι που υπάρχει και το εξερευνάς», πρόσθεσε ο Buff. «Είναι ξεκάθαρα εκεί στον υπολογιστή μου. Επισκέπτομαι το σετ Mandelbrot. Και ίσως υπάρχουν κάποια μέρη στο σετ του Mandelbrot που δεν έχω ανακαλύψει ακόμα».

Αυτός ο τομέας μελέτης είναι γεμάτος με τέτοιες ανακαλύψεις. Ανακαλύφθηκε μικρότερα αντίγραφα του σκηνικού μέσα του και συγκεκριμένα σχέδια στον τρόπο που εμφανίζονται οι κεραίες, οι τρίχες και άλλες διακοσμήσεις. Υπήρξε η ανακάλυψη της ακολουθίας Fibonacci, που κωδικοποιήθηκε στο σύνολο — καθώς και κατά προσέγγιση $latex pi$. Και υπήρξε η ανακάλυψη των συνόλων Mandelbrot σε άλλα πλαίσια εντελώς, όπως στην αναζήτηση αριθμητικών λύσεων σε κυβικές εξισώσεις.

«Οι υπολογιστές μας δείχνουν πράγματα που είναι δελεαστικά, που φωνάζουν για να έρθει κάποιος να τα εξηγήσει», είπε Κέβιν Πίλγκριμ του Πανεπιστημίου της Ιντιάνα Μπλούμινγκτον. Το οποίο με τη σειρά του παρακινεί τις σωστές ερωτήσεις, αν όχι τις απαντήσεις.

Όταν οι υπολογιστές αποκάλυψαν όλα εκείνα τα μικρότερα αντίγραφα του σετ Mandelbrot μέσα του, ο Douady και ο Hubbard θέλησαν να εξηγήσουν την παρουσία τους. Κατέληξαν να στραφούν σε αυτό που είναι γνωστό ως θεωρία επανακανονικοποίησης, μια τεχνική που χρησιμοποιούν οι φυσικοί για να δαμάσουν τα άπειρα στη μελέτη των κβαντικών θεωριών πεδίου και για να συνδέσουν διαφορετικές κλίμακες στη μελέτη των μεταπτώσεων φάσης. Προηγουμένως είχε ελάχιστο ενδιαφέρον για τους μαθηματικούς. με τα πρότυπά τους, δεν ήταν καν αυστηρό.

Αλλά στη δεκαετία του 1970, ο φυσικός Mitchell Feigenbaum έφερε τη θεωρία της επανακανονικοποίησης στον κόσμο της δυναμικής, χρησιμοποιώντας την ως έναν τρόπο να εξηγήσει ένα συγκεκριμένο αυτοπαρόμοιο μοτίβο που εμφανίζεται όταν επαναλαμβάνετε τετραγωνικές εξισώσεις χρησιμοποιώντας πραγματικούς αριθμούς.

Ο Douady και ο Hubbard συνειδητοποίησαν ότι η επανακανονικοποίηση ήταν ακριβώς αυτό που χρειάζονταν για να εξηγήσουν τα πιο περίπλοκα αυτο-όμοια μοτίβα που έβλεπαν στις οθόνες των υπολογιστών τους. Και έτσι κατάλαβαν πώς να εφαρμόσουν τη θεωρία επανακανονικοποίησης σε πολύπλοκες δυναμικές.

Έκτοτε, η δουλειά του Lyubich και των συναδέλφων του στο MLC έχει προωθήσει αυτή τη θεωρία περισσότερο από ό,τι πίστευε κανείς.

Ένα όνομα για κάθε κουκκίδα

Μόλις ο Lyubich έφτασε στη Νέα Υόρκη τον Φεβρουάριο του 1990, μήνες αφότου είχε φύγει από τη Μόσχα, είχε την ευκαιρία να μάθει περισσότερα για το έργο για το οποίο είχε γράψει τόσο ενθουσιασμένος ο Douady στο email του.

Στην αρχή, δεν ήταν το αποτέλεσμα του MLC που γοήτευσε τον Lyubich, αλλά οι τεχνικές που είχε αναπτύξει ο Yoccoz για να το αποδείξει. «Κάπως, μου έκανε κλικ πολύ καλά», είπε. Είχε ενδιαφερθεί για την πραγματική δυναμική και για να απαντήσει σε ερωτήσεις που είχαν προκύψει με βάση το έργο του Feigenbaum για την επανακανονικοποίηση. Για το μεγαλύτερο μέρος της δεκαετίας του 1990, ο Lyubich εστίασε στην περαιτέρω ανάπτυξη των μεθόδων του Yoccoz, για να αντιμετωπίσει αυτά τα ανοιχτά προβλήματα. Μέχρι το τέλος της δεκαετίας, ένιωθε ότι «είχε αποκτήσει ουσιαστικά την πλήρη περιγραφή της δυναμικής στην πραγματική γραμμή, χρησιμοποιώντας αυτόν τον μηχανισμό», είπε.

Ως φυσική συνέπεια αυτής της δουλειάς, ο Lyubich κατέληξε να αποδεικνύει MLC για πολλές, αν και όχι όλες, από τις περιπτώσεις που το αποτέλεσμα του Yoccoz δεν είχε καλύψει.

Αυτό δεν θα ήταν έκπληξη. Η απόδειξη του Yoccoz έδειξε MLC για όλα τα σημεία του σετ Mandelbrot εκτός από εκείνα που είναι γνωστά ως παραμέτρους «απείρως επανακανονικοποιήσιμες» - σημεία που ζούσαν μέσα σε άπειρα ένθετα αντίγραφα του μωρού Mandelbrot. Το αποτέλεσμά του μετέτρεψε αμέσως το MLC σε ένα πρόβλημα που ήταν στενά συνδεδεμένο με τη θεωρία επανακανονικοποίησης.

Αυτός ο σύνδεσμος ήταν συναρπαστικός. Επιφανειακά, το MLC φαινόταν να ανήκει σε μια εντελώς διαφορετική γωνιά του γηπέδου. «Η θεωρία της επανακανονικοποίησης είχε αναπτυχθεί εντελώς ανεξάρτητα», είπε ο Lyubich. «Και μετά όλα έγιναν μέρος της ίδιας ιστορίας».

Και έτσι ο Lyubich άρχισε να ενδιαφέρεται για την αντιμετώπιση του προβλήματος MLC.

Ακόμη και προτού η επανακανονικοποίηση εισέλθει στη μάχη, υπήρχαν ήδη ενδείξεις ότι το MLC ήταν ένα ερώτημα με βαθύτερους συντονισμούς.

Στις σημειώσεις του Orsay, ο Douady και ο Hubbard έδειξαν ότι εάν το MLC είναι αληθινό, τότε έχει επίσης επιπτώσεις στις ιδιότητες του εσωτερικού του συνόλου Mandelbrot. Δεν συμπεριφέρεται κάθε σημείο μέσα στο σετ με τον ίδιο τρόπο. Τα σημεία στο κύριο καρδιοειδές αντιστοιχούν σε συναρτήσεις που, όταν επαναληφθούν από μια αρχική τιμή μηδέν, συγκλίνουν σε έναν μοναδικό αριθμό. Τα σημεία σε άλλους λοβούς αντιστοιχούν σε συναρτήσεις που καταλήγουν να ταλαντώνονται μεταξύ ενός συγκεκριμένου αριθμού διαφορετικών τιμών. Ο μεγαλύτερος λοβός πάνω από το κύριο καρδιοειδές, για παράδειγμα, αντιπροσωπεύει λειτουργίες που ταλαντώνονται μεταξύ τριών τιμών. Για προσεκτικά επιλεγμένα σημεία, ωστόσο, μια συνάρτηση μπορεί να παράγει ακολουθίες που παραμένουν οριοθετημένες αλλά ποτέ δεν ταλαντώνονται — συνεχίζουν να μεταπηδούν μεταξύ νέων, διακριτών τιμών.

Αλλά αν το MLC είναι αληθινό, ο Douady και ο Hubbard έδειξαν ότι τέτοιες μη ταλαντευόμενες ακολουθίες πρέπει να είναι σπάνιες - μια ιδιότητα που ονομάζεται «πυκνότητα υπερβολής» που οι μαθηματικοί θέλουν να αποδείξουν ή να διαψεύσουν για οποιοδήποτε δυναμικό σύστημα τυχαίνει να μελετούν. «Είναι βασικά το πιο σημαντικό ερώτημα στη δυναμική, όχι μόνο στη σύνθετη δυναμική», είπε ο Lomonaco.

Το Density of hyperbolicity ασχολείται με το εσωτερικό του σετ Mandelbrot. Αλλά το MLC θα επέτρεπε επίσης στους μαθηματικούς να εκχωρήσουν μια διεύθυνση σε κάθε σημείο στα όρια του συνόλου. «Δίνει ένα όνομα σε κάθε κουκκίδα. Και μετά, μόλις μπορέσετε να ονομάσετε κάθε κουκκίδα του ορίου του συνόλου Mandelbrot, μπορείτε να ελπίζετε ότι θα το καταλάβετε πραγματικά πλήρως», είπε ο Hubbard.

Με αυτόν τον τρόπο, η MLC λέει στους μαθηματικούς ότι η εικόνα που έχουν για το σετ δεν λείπει τίποτα. Αλλά χωρίς απόδειξη, θα μπορούσαν να υπάρχουν ακόμα κάποιες περιοχές, κρυμμένες στις βαθύτερες γωνιές αυτού του απείρως περίπλοκου τοπίου, που δεν έχουν εμφανιστεί ακόμη στις οθόνες των υπολογιστών – που συμπεριφέρονται με έναν ριζικά διαφορετικό τρόπο. Θα σήμαινε ότι οι μαθηματικοί εξακολουθούν να λείπουν μέρος της ιστορίας.

Σκεφτείτε Βαθιά για Απλά Πράγματα

Ο Τζέρεμι Καν μεγάλωσε στη Νέα Υόρκη τη δεκαετία του 1970, γιος ενός κοινωνικού λειτουργού και ενός συγγραφέα επιστήμης. Ως παιδί, γρήγορα αποδείχθηκε ότι ήταν κάτι σαν θαύμα των μαθηματικών. Πήρε χρόνια μπροστά στο θέμα. Στην έκτη τάξη σημείωσε 790 στο τμήμα μαθηματικών του SAT. Και έγραψε τα δικά του προγράμματα υπολογιστή για να εξερευνήσει διάφορες μαθηματικές έννοιες σε μεγαλύτερο βάθος. Όταν ήταν 13 ετών, έγινε το νεότερο άτομο (τότε) που κέρδισε μια θέση στην ομάδα της Διεθνούς Μαθηματικής Ολυμπιάδας των ΗΠΑ. Συμμετείχε στον διαγωνισμό σε όλη τη διάρκεια του Λυκείου, κατακτώντας δύο ασημένια μετάλλια και δύο χρυσά. Κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου, άρχισε επίσης να παρακολουθεί μαθήματα μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο της Κολούμπια και απέδειξε ξανά αρκετά θεωρήματα (χωρίς να γνωρίζει ότι είχαν αποδειχθεί) σε έναν πίνακα που κρατούσε στην κρεβατοκάμαρά του.

Αφού αποφοίτησε από το γυμνάσιο, πήγε στο Πανεπιστήμιο του Χάρβαρντ για να σπουδάσει μαθηματικά. Εκεί γοητεύτηκε από το σετ Mandelbrot. Μέχρι το τέλος του έτους, αφιέρωνε όλη του την ενέργεια για να το καταλάβει. Δεδομένου ότι κανείς στο Χάρβαρντ δεν εργαζόταν σε αυτό εκείνη την εποχή, θα πήγαινε με το ποδήλατο στο Πανεπιστήμιο της Βοστώνης για να μάθει από έναν μαθηματικό εκεί για τα φράκταλ και τα δυναμικά συστήματα. Αφού αποφοίτησε και εγγράφηκε σε ένα διδακτορικό πρόγραμμα στο Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνια, στο Μπέρκλεϋ, επικεντρώθηκε στην υπερβολική γεωμετρία - ένα πεδίο που οι μαθηματικοί είχαν συνδέσει προηγουμένως με τη σύνθετη δυναμική, όταν το σύνολο Mandelbrot γινόταν για πρώτη φορά δημοφιλές.

Ο Καν ήθελε να ενισχύσει αυτή τη σύνδεση. Ως μεταπτυχιακός φοιτητής, απέδειξε ξανά το περίφημο αποτέλεσμα MLC του Yoccoz, βασιζόμενος στη βασική δουλειά των μαθηματικών Ντένις Σάλιβαν και Κρτ ΜακΜούλεν. Άρχισε επίσης να σκέφτεται πώς να εφαρμόσει ιδέες από την υπερβολική γεωμετρία στην επανακανονικοποίηση.

συμμαθητής του Καν Κέβιν Πίλγκριμ θυμάται τον είδε να γεμίζει τεράστια φύλλα χαρτιού με σχέδια καμπυλών και δακτυλίων, γεωμετρικών αντικειμένων που εκφυλίστηκαν και παραμορφώθηκαν. «Άρχισε να σκέφτεται πολύ, πολύ βαθιά για αυτά τα πράγματα», είπε ο Πίλγκριμ. «Και όταν λέω «βαθιά», εννοώ για 15 χρόνια».

«Η επιμονή του Τζέρεμι να σκέφτεται πολύ σκληρά για κάτι είναι αρκετά εκπληκτική», πρόσθεσε.

Ο Καν σκέφτηκε ιδιαίτερα σκληρά για την επανομαλοποίηση. Μελέτησε το έργο του Lyubich και του Douady και του Hubbard.

Σε όλα αυτά τα πλαίσια, η επανακανονικοποίηση είναι ένας τρόπος να συσχετιστούν διαφορετικές κλίμακες ενός δυναμικού συστήματος μεταξύ τους. Εξετάστε τη δυναμική μιας τετραγωνικής εξίσωσης. Οι πόντοι θα αναπηδούν γύρω από το σύνθετο επίπεδο με συγκεκριμένους τρόπους. Η επανακανονικοποίηση σάς επιτρέπει να περιγράψετε τη δυναμική όλων αυτών των σημείων εστιάζοντας μόνο σε ένα μικρό υποσύνολο από αυτά.

«Η επανακανονικοποίηση λειτουργεί σαν ένα εξαιρετικά ισχυρό μικροσκόπιο που σας επιτρέπει να κατανοήσετε δομές που βρίσκονται στο βαθύτερο επίπεδο», είπε. Romain Dujardin του Πανεπιστημίου της Σορβόννης στη Γαλλία.

Ο βαθμός στον οποίο μπορείτε να το κάνετε αυτό εξαρτάται από την εξίσωση που επαναλαμβάνετε. Μερικές φορές απλά δεν μπορείτε να περιγράψετε τη δυναμική του ως προς ένα μικρότερο μέρος του συστήματος. Ή μπορεί να είστε σε θέση να χρησιμοποιήσετε το μικροσκόπιο της επανακανονικοποίησης για να μεγεθύνετε τα πράγματα μία, δύο ή 10 φορές, πριν φτάσετε σε ένα σημείο όπου δεν μπορείτε πλέον να πείτε τίποτα ουσιαστικό για τις μικρότερες κλίμακες.

Αλλά για τις συναρτήσεις που σχετίζονται με παραμέτρους με απείρως επανακανονικοποιήσιμες, είναι δυνατό να συνεχίσουμε να εφαρμόζουμε την επανακανονικοποίηση για πάντα.

Είναι μια λεπτή διαδικασία. «Δεν μπορεί να γίνει με τυχαίο τρόπο», είπε ο Lyubich. Πρέπει να δείξετε αυστηρά ότι μπορείτε να μετακινηθείτε από τη μια κλίμακα στην άλλη χωρίς να χάσετε υπερβολική ακρίβεια.

Το πρώτο βήμα για να γίνει αυτό περιλαμβάνει την απόκτηση ενός χονδρικού ελέγχου στη γεωμετρία των διαφορετικών κλιμάκων. Είναι αυτό το βήμα που μπορεί στη συνέχεια να χρησιμοποιηθεί για την εμφάνιση MLC για μια δεδομένη τιμή του c στο σετ Mandelbrot.

Ως μεταπτυχιακός φοιτητής, ο Καν σκεφτόταν ήδη πώς να εφαρμόσει τις γνώσεις του για την υπερβολική γεωμετρία στο πρόβλημα. Η έρευνά του τράβηξε την προσοχή και στο τρίτο έτος του μεταπτυχιακού, δέχτηκε μια θέση εργασίας στο Ινστιτούτο Τεχνολογίας της Καλιφόρνια.

Όλα έμοιαζαν να ταιριάζουν τέλεια.

Και μετά πάγωσε.

Στο Caltech, δεν μπορούσε να γράψει. Είχε αποτελέσματα από τον χρόνο του στο μεταπτυχιακό — αλλά κάθε φορά που καθόταν μπροστά σε έναν υπολογιστή, έχανε τη δύναμη της θέλησης που είχε. «Δεν ήμουν καλός στο γράψιμο», είπε. «Δεν ήμουν καλός ούτε στο να κάτσω να γράψω. Οπότε δεν έγραφα τα πράγματα». (Αν και έκτοτε έχει δημοσιεύσει πολλές εργασίες, μόλις πρόσφατα υπέβαλε κάποιες από αυτές τις πρώτες εργασίες για δημοσίευση.)

Δεν μπορούσε να εστιάσει ούτε τη μαθηματική του προσοχή. «Μερικές φορές έχανα τον εαυτό μου στα άκρα να θέλω να αποδείξω πραγματικά σπουδαία θεωρήματα, όπως το MLC ή το P έναντι του NP. Και μετά θα επέστρεφα στην πραγματικότητα», είπε. «Ήμουν χαμένος και δυστυχισμένος».

Σε τέσσερα χρόνια στο Caltech, ο Καν δεν έγραψε ούτε μια εργασία. Έχασε τη δουλειά του.

Και έτσι, το φθινόπωρο του 1998, σε ηλικία μόλις κάτω των 30 ετών, η κάποτε πολλά υποσχόμενη σταδιοδρομία του στα κουρελιασμένα, «κάπως περιπλανήθηκα πίσω στο σπίτι» στη Νέα Υόρκη, είπε ο Καν.

Τηλεφώνησε στον Μίλνορ, ζητώντας συμβουλές. Ο Μίλνορ τον έφερε ξανά σε επαφή με τον Λιούμπιτς, τον οποίο ο Καν είχε συναντήσει μερικές φορές στο μεταπτυχιακό. Και έτσι, «Μόλις εμφανίστηκα στο Stony Brook», είπε ο Καν. Ο Misha ήταν απίστευτα φιλόξενος. Οι δυο τους συζητούσαν για τα μαθηματικά για ώρες. Ο Καν θυμάται ότι πήγαινε στο σπίτι του Lyubich όλη την ώρα, έτρωγε δείπνο με την οικογένειά του — μέχρι τότε, ο Lyubich και η σύζυγός του είχαν μια κόρη. θα είχαν αργότερα ένα δεύτερο - και σύντομα θα γίνονταν φίλοι. «Πραγματικά με πήρε μέσα», είπε ο Καν. «Ήταν αυτός ο παγκοσμίου φήμης μαθηματικός και με αντιμετώπιζε ως ίσο, όχι ως κάποιο χαμένο παιδί».

«Έγινε ουσιαστικά δεύτερος πατέρας για μένα», πρόσθεσε.

Ο Lyubich βρήκε μια προσωρινή θέση για τον Kahn στο Stony Brook, χωρίς καθήκοντα διδασκαλίας. Από τα τέλη της δεκαετίας του 1990 έως τα μέσα της δεκαετίας του 2000, ο Lyubich βοήθησε τον νεότερο μαθηματικό. Όταν ο Lyubich πέρασε ένα χρόνο δουλεύοντας στο Πανεπιστήμιο του Τορόντο, βρήκε μια θέση για τον Kahn. όταν επέστρεψε στο Stony Brook, έκανε το ίδιο. Όταν ο Καν άφησε τον ακαδημαϊκό χώρο για να εργαστεί σε ένα hedge fund για ένα χρόνο, μόνο για να αποφασίσει ότι δεν ήταν για αυτόν, ο Lyubich τον βοήθησε για άλλη μια φορά. Όταν ο πατέρας του Καν διαγνώστηκε με καρκίνο και αργότερα πέθανε, ο Καν δεν μπορούσε να εργαστεί. Αλλά τελικά επέστρεψε στο Lyubich και ο Lyubich τον καλωσόρισε.

Για να ακούσει τον Lyubich να το λέει, αναγνώρισε ότι ο Kahn είχε πολύ ενδιαφέρουσες, μερικές φορές λαμπρές ιδέες. «Απλώς είχε αυτό το ψυχολογικό μπλοκ που έπρεπε να ξεπεράσει», είπε ο Lyubich. «Έτσι συνέχισα να τον υποστηρίζω όσο περισσότερο γινόταν».

Αν και ο Καν εξακολουθεί να αισθάνεται συχνά χαμένος κατά τη διάρκεια αυτών των ετών, αυτός και ο Lyubich ανέπτυξαν αυτό που ο Kahn αποκάλεσε «αρκετά έντονη συνεργασία». Τον κράτησε προσγειωμένο. Οι δύο μαθηματικοί ενοποίησαν τις προσεγγίσεις τους στην επανακανονικοποίηση, κάτι που τους επέτρεψε επίσης να αποδείξουν το MLC για πολλές περισσότερες παραμέτρους.

«Το είδος της κατάρρευσης της καριέρας μου μου έδωσε την ευκαιρία να ακολουθήσω τον Misha» και να ολοκληρώσω αυτή τη δουλειά, είπε ο Kahn. «Απέβαλε πολλά στοιχεία ζωής, όχι σκόπιμα, αλλά ουσιαστικά για χάρη της απόδειξης αυτών των θεωρημάτων».

Το έργο των Kahn και Lyubich σηματοδότησε μια τεράστια ανακάλυψη στη θεωρία της επανακανονικοποίησης και στο MLC. Αλλά «το σύνολο του Mandelbrot είναι τρομερά πονηρό», είπε ο Lyubich, επειδή δεν είναι ακριβώς όμοιο με τον εαυτό του και εμφανίζει διαφορετικά είδη αυτο-ομοιότητας. Όπως το έθεσε η Avila, «έχει διαφορετικές προσωπικότητες καθώς κινείσαι μέσα σε αυτό». Αυτά τα διαφορετικά είδη αυτο-ομοιότητας αντιστοιχούν σε πολύ διαφορετικές δυναμικές και ως εκ τούτου απαιτούν διαφορετικούς τύπους επανακανονικοποίησης για να συσχετιστεί η μια κλίμακα με την άλλη.

Ο Kahn και ο Lyubich είχαν αναπτύξει έναν τύπο, αλλά είχαν ωθήσει τις τεχνικές τους όσο πιο μακριά μπορούσαν. «Χτύπησαν έναν τοίχο και ήξεραν ότι θα χτυπούσαν έναν τοίχο», είπε ο Mukherjee.

Για να αποδείξουν το MLC για άλλα μέρη του συνόλου Mandelbrot, θα έπρεπε να λάβουν ένα παρόμοιο είδος γεωμετρικού ελέγχου, αλλά χρησιμοποιώντας κάποιο άλλο είδος — ή τύπους — επανακανονικοποίησης.

Και ο Kahn και ο Lyubich διαφώνησαν για το πώς να προχωρήσουν καλύτερα.

Η πρόοδος σταμάτησε.

Ο καθένας τους άρχισε να εργάζεται για άλλα προβλήματα. Ο Καν επέστρεψε στην υπερβολική γεωμετρία. Ο Lyubich σκέφτηκε τρόπους με τους οποίους θα μπορούσε να εφαρμόσει το έργο MLC σε άλλα μέρη της πολύπλοκης δυναμικής (ακόμα και σε ερωτήσεις στη φυσική).

«Γι’ αυτό, κατά κάποιον τρόπο, ποτέ δεν κολλάς πραγματικά», είπε ο Lyubich, ο οποίος το 2004 έγινε διευθυντής του Ινστιτούτου Μαθηματικών Επιστημών του Stony Brook. «Αν αύριο κάποιος βρει μια ενιαία απόδειξη του MLC σε όλες τις περιπτώσεις, θα εξοντώσει όλα όσα κάναμε πριν; Όχι. Υπάρχουν τόσα πολλά προβλήματα που βασίζονται σε αυτή την τεχνική."

Αυτός είναι μέρος του λόγου που δεν ένιωσε ποτέ απογοητευμένος όταν τα πράγματα δεν φαινόταν να εξελίσσονται τόσο ομαλά στο μέτωπο του MLC. «Κάθε βήμα στο MLC είναι ένα άνοιγμα σε πολλά άλλα προβλήματα», είπε.

Εν τω μεταξύ, ο Καν έκανε σημαντικές προόδους στην υπερβολική γεωμετρία. Άρχισαν να έρχονται προσφορές για θητεία. Ελπίζοντας να κάνει μια νέα αρχή, μετακόμισε στο Πρόβιντενς του Ρόουντ Άιλαντ το 2011 για να αναλάβει θέση καθηγητή στο Πανεπιστήμιο Μπράουν.

Ούτε ο Lyubich ούτε ο Kahn σταμάτησαν να σκέφτονται το MLC, αλλά απομακρύνθηκαν, απασχολημένοι με τις δικές τους ευθύνες.

Άλλοι μαθηματικοί που εργάζονταν στη σύνθετη δυναμική άρχισαν να κινούνται προς διαφορετικές κατευθύνσεις — εστιάζοντας σε χώρους παραμέτρων ακόμη πιο περίπλοκους από το σύνολο του Mandelbrot και στη σύνδεση μεταξύ της σύνθετης δυναμικής και της θεωρίας αριθμών.

Όμως τα τελευταία χρόνια, ο Lyubich και ο Kahn έχουν αναλάβει μαθητευόμενους και ανανέωσαν τις προσπάθειές τους να αποδείξουν το MLC.

Τετράγωνο επάνω

Πριν από περίπου μια δεκαετία, ο Lyubich άρχισε να συνεργάζεται με τον Dima Dudko.

Ο Dudko μεγάλωσε τη δεκαετία του 1980 στη Λευκορωσία, όπου η μαθηματική του ικανότητα έγινε γρήγορα εμφανής στους γύρω του. (Εκπροσώπησε τη Λευκορωσία στη Διεθνή Ολυμπιάδα Μαθηματικών 15 χρόνια μετά τη γήρανση του Καν. Όπως ο Καν, κέρδισε ένα χρυσό μετάλλιο.) Αργότερα, όταν ήταν μεταπτυχιακός φοιτητής στη Γερμανία, ο σύμβουλός του συμβουλεύτηκε τον Lyubich σχετικά με το πρόβλημα που έπρεπε να αντιμετωπίσει ο Dudko διατριβή. Αποφάσισαν μια ερώτηση σχετικά με το σετ Mandelbrot που δεν περίμεναν ότι ο Dudko θα μπορούσε να απαντήσει. Η δήλωση θα προκύψει αυτόματα από την MLC. σκέφτηκαν ότι, χωρίς το MLC να τον βοηθήσει, θα μπορούσε να σημειώσει μερική πρόοδο σε αυτό στην καλύτερη περίπτωση.

Ο Dudko βρήκε έναν τρόπο γύρω από το MLC και έλυσε το πρόβλημα εντελώς.

Αφού ολοκλήρωσε το μεταπτυχιακό του πρόγραμμα το 2012, συνέχισε να εργάζεται στη Γερμανία ως μεταδιδάκτορας — αλλά άρχισε επίσης να συνεργάζεται με τον Lyubich. Με έναν τρίτο μαθηματικό, Νικήτα Σέλινγκερ του Πανεπιστημίου της Αλαμπάμα, στο Μπέρμιγχαμ, ανέπτυξαν μια νέα θεωρία επανακανονικοποίησης. Στη συνέχεια, οι Lyubich και Dudko το χρησιμοποίησαν για να δείξουν ότι το MLC ισχύει για μερικές από τις πιο δύσκολες παραμέτρους που μπορούν να επανακανονικοποιηθούν σε άπειρο επίπεδο στο σύνολο του Mandelbrot — ακριβώς εκείνες στις οποίες δεν μπορούσαν να εφαρμοστούν οι μέθοδοι των Lyubich και Kahn. (Ο πρώην μαθητής του Lyubich, Davoud Cheraghi και ο Mitsuhiro Shishikura του Πανεπιστημίου του Κιότο, έχουν επίσης αναπτύξει τεχνικές για να αντιμετωπίσουν ορισμένες από αυτές τις εξαιρετικές περιπτώσεις.)

«Αυτή η περίπτωση είναι τόσο διαφορετική που χρειάστηκαν άλλες δύο δεκαετίες», είπε ο Lyubich. Χρειάστηκε επίσης μια πρωτότυπη σκέψη. Ο Dudko, ο οποίος οδήγησε το πρόσφατο σεμινάριο MLC με τον Lyubich στη Δανία, θεωρείται αστέρι στην περιοχή και έχει έναν ενδιαφέροντα τρόπο να βλέπει τα πράγματα. Αυτό ίσως αποδεικνύεται καλύτερα από το πώς σκιαγραφεί μερικές φορές το σύνολο του Mandelbrot ως ένα μάτσο τετράγωνα, αντί για τους κύκλους που οι περισσότεροι μαθηματικοί τείνουν να σχεδιάζουν.

«Με εξέπληξε το γεγονός ότι είναι δυνατό να λυθούν αυτά τα προβλήματα», είπε ο Lyubich. «Αυτό που κάναμε πρόσφατα, ξεπερνά ό,τι είχα κάνει πριν».

Σε μια προσπάθεια να συγκεντρώσει όλα αυτά τα αποτελέσματα σε ένα μέρος, ο Lyubich έχει γράψει μια σειρά εγχειριδίων για το σύνολο Mandelbrot, το MLC και τις σχετικές εργασίες σε πολύπλοκη δυναμική. Μέχρι στιγμής, έχει δημιουργήσει περισσότερες από 700 σελίδες, χωρισμένες σε δύο τόμους από τους τέσσερις προγραμματισμένους τόμους. «Ας ελπίσουμε ότι όταν τελειώσω με τον τόμο 4, το MLC θα είναι εκεί», είπε.

Όπως ο Lyubich, ο Kahn βρήκε έναν νεότερο προστατευόμενο. Η ιδέα της στρατολόγησης του Alex Kapiamba ήρθε για πρώτη φορά στον Kahn σε ένα όνειρο. Ήταν σε ένα συνέδριο το 2019. Για αρκετούς μήνες, αυτός, ο Lyubich και ο Dudko συναντιόντουσαν τακτικά για να συζητήσουν την πρόοδο στο MLC — κάτι που αντικατοπτρίστηκε αμέσως στο όνειρο, όπου οι τρεις τους βρίσκονταν σε ένα λεωφορείο. «Και μετά βλέπω αυτό το τέταρτο άτομο να μπαίνει στο λεωφορείο, και αυτό είναι ουσιαστικά όλο το όνειρο», είπε ο Καν. «Και μετά ξυπνάω και νομίζω ότι ο Άλεξ Καπιάμπα είναι αυτό το τέταρτο άτομο».

Την επόμενη μέρα κανόνισε να συναντηθεί με τον Καπιάμπα για να συζητήσουν την έρευνά του. Ο Καπιάμπα τώρα συνεργάζεται με τον Καν ως μεταδιδάκτορας στο Μπράουν και θα μετακομίσει στο Χάρβαρντ το φθινόπωρο.

Όταν συνάντησα τον Καπιάμπα πέρυσι, το χέρι του ήταν σε μια σφεντόνα. είχε εξαρθρώσει τον ώμο του λίγες μέρες νωρίτερα παίζοντας ultimate Frisbee. (Έπαιζε ημιεπαγγελματικά για τους Detroit Mechanix ενώ ήταν στο μεταπτυχιακό, και συνεχίζει να παίζει σε ένα πρωτάθλημα συλλόγων.) Ήταν σεμνός σχετικά με το πόσο πολύ πίστευε ότι θα μπορούσε να συνεισφέρει στην προσπάθεια του MLC. «Είναι λίγο τρομακτικό», είπε. «Σίγουρα νιώθω κάποιο σύνδρομο απατεώνων».

«Θέλω απλώς να μπω και να κάνω λίγο πριν να είναι πολύ αργά», πρόσθεσε.

Ο Καπιάμπα δεν είχε βάλει σκοπό να σπουδάσει μαθηματικά. Ως προπτυχιακός στο Όμπερλιν Κολλέγιο του Οχάιο, ξεκίνησε ως κύριος βιοχημείας. Μόνο στο τέλος της νηπιακής του χρονιάς, αφού παρακολούθησε ένα μάθημα τοπολογίας, άρχισε να ενδιαφέρεται για τα μαθηματικά. «Στη βιοχημεία, αυτό που μου άρεσε πολύ ήταν να κατανοώ τη δομή των πραγμάτων», είπε ο Καπιάμπα. «Και τα μαθηματικά απλώς προσπαθούν να μελετήσουν τη δομή στην πιο γυμνή τους μορφή. Πραγματικά ένιωθα ότι ήταν τα μέρη της βιολογίας ή της χημείας που μου άρεσαν πραγματικά, τα οποία αποστάχθηκαν σε καθαρή μορφή. Θα μπορούσα απλώς να κάνω αυτό το κομμάτι».

Μετά την αποφοίτησή του το 2014, δεν ήταν σίγουρος για το τι ήθελε να κάνει. Μετακόμισε στην Ουάσιγκτον, DC, για να είναι κοντά στην οικογένειά του και βρήκε δουλειά σε ένα αρτοποιείο και ως δάσκαλος. Κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου, άρχισε να σκέφτεται να ακολουθήσει μια καριέρα στα μαθηματικά. Σύντομα παράτησε τη δουλειά του στο αρτοποιείο και για τα επόμενα δύο χρόνια, συνέχισε να κάνει δάσκαλο ενώ σπούδαζε μαθηματικά υψηλότερου επιπέδου μόνος του — αναθεωρώντας την ύλη που είχε μάθει κατά τα προπτυχιακά του χρόνια («για να αποκτήσει μια διαφορετική πλεονεκτική θέση,» είπε) και παρακολουθώντας διαδικτυακά μαθήματα. «Ήθελα να νιώσω πολύ προετοιμασμένος», είπε. Το 2016 εγγράφηκε σε μεταπτυχιακό πρόγραμμα στο Πανεπιστήμιο του Μίσιγκαν.

Ως μαθητής μεταπτυχιακού, άρχισε να εργάζεται σε μια ερώτηση σχετικά με τη γεωμετρία του Mandelbrot που βρίσκεται κοντά στην κορυφή του κύριου καρδιοειδούς του, όπου μια παρέλαση ελεφάντων βγαίνει από μια ρηχή κοιλάδα. Καθώς πλησιάζετε στην κοιλάδα, οι ελέφαντες φαίνεται να πλησιάζουν όλο και περισσότερο μεταξύ τους. Και έτσι έχει υποτεθεί ότι καθώς πλησιάζετε στο βαθύτερο σημείο της κοιλάδας, η απόσταση μεταξύ των ελεφάντων θα συρρικνωθεί στο μηδέν. «Ήμουν σαν, προφανώς», είπε ο Καπιάμπα, δείχνοντας την οθόνη του υπολογιστή του, όπου είχε κάνει ζουμ στους ελέφαντες για να τους δω. Πραγματικά έμοιαζαν σαν να αγγίζουν.

Ένα βασικό μέρος του επιχειρήματός του στηρίχθηκε σε μια παράλογη παρατήρηση που έγινε σε μια παλιά διδακτορική διατριβή. Η διατριβή 73 σελίδων, γραμμένη εξ ολοκλήρου στα γαλλικά, ολοκληρώθηκε το 1989 αλλά δεν δημοσιεύτηκε ποτέ. Ο συγγραφέας του είχε εγκαταλείψει τα μαθηματικά μόλις ένα χρόνο αργότερα, μετά την απογοήτευση και την απογοήτευση με το πρόβλημα που ήλπιζε να λύσει: το MLC.

Ο Καπιάμπα χτένιζε το κείμενο, συχνά χάνονταν στις σελίδες του χωρίς να συνειδητοποιήσει ότι το ρολόι είχε περάσει προ πολλού τα μεσάνυχτα, βασιζόμενος στα γαλλικά που ήξερε από το γυμνάσιο και στο Google Translate. Λυπήθηκε που δεν τον είχαν μεγαλώσει για να μιλάει γαλλικά. Τόσο ο πατέρας του, ο οποίος είναι από τη Λαϊκή Δημοκρατία του Κονγκό, όσο και η μητέρα του, που τον γνώρισε εκεί ενώ υπηρετούσε στο Ειρηνευτικό Σώμα, μιλούσαν άπταιστα τη γλώσσα. Όμως το ζευγάρι είχε μετακομίσει στο Μέριλαντ λίγο πριν γεννηθεί ο Καπιάμπα και σε μια προσπάθεια να βοηθήσει τον πατέρα του να μάθει αγγλικά όσο το δυνατόν γρηγορότερα, μιλούσαν μόνο αγγλικά στο σπίτι.

Τελικά, ο Καπιάμπα συνειδητοποίησε ότι δεν παρέλειπε να κατανοήσει κάποιο βήμα στη λογική της διατριβής. Ο συγγραφέας του είχε κάνει λάθος. Ο ισχυρισμός του ήταν μάλλον σωστός, αλλά το σκεπτικό πίσω από αυτό δεν στάθηκε. Και έτσι ο Καπιάμπα έβαλε στόχο να διορθώσει το σφάλμα.

Άφησε τα πράγματα να σιγοβράσουν, όπως περιμένει να φουσκώσει το ψωμί. (Ακόμα ψήνει για να εστιάσει το μυαλό του. Απολαμβάνει την ευκαιρία που του δίνει να φτιάξει κάτι με τα χέρια του.) Τα επόμενα χρόνια, τελικά κατάλαβε την απόδειξη. Για να το κάνει, έπρεπε να ενισχύσει ένα θεώρημα που είχε χρησιμοποιήσει ο Yoccoz στην αρχική του απόδειξη MLC, περίπου στο μέγεθος των ελεφάντων.

Το έργο ξάφνιασε την κοινότητα της περίπλοκης δυναμικής. Οι εικόνες από υπολογιστή είχαν ήδη δείξει ότι ορισμένες περιοχές του συνόλου Mandelbrot φαινόταν να συρρικνώνονται πολύ, πολύ πιο γρήγορα από ό,τι πρότεινε το θεώρημα του Yoccoz, πράγμα που σημαίνει ότι η δήλωσή του θα μπορούσε να ενισχυθεί. «Αν απλώς σχεδιάσετε μερικές φωτογραφίες και τις κοιτάξετε, μπορείτε να δείτε, ω, φαίνεται ότι το δεμένο που μας δίνει ο Γιόκοζ είναι πολύ, πολύ κακό», είπε ο Καπιάμπα. Κανείς όμως δεν κατάφερε να το βελτιώσει.

Μέχρι τον Καπιάμπα. Το έργο του εφαρμόστηκε μόνο σε ορισμένες περιοχές στο σύνολο του Mandelbrot. Οι μαθηματικοί ελπίζουν ότι η ισχυρότερη εκδοχή της δήλωσης του Yoccoz μπορεί να εμφανιστεί για ολόκληρο το σετ. Ακόμα κι έτσι, «ο κόσμος ενθουσιάστηκε πολύ», είπε ο Benini. «Όλοι εργάζονται σε αυτό γνωρίζουν ότι αυτό πρέπει να είναι αλήθεια. απλά δεν ήξεραν πώς να το αποδείξουν».

Ο Lomonaco και άλλοι μαθηματικοί έχουν ήδη χρησιμοποιήσει το αποτέλεσμα του Kapiamba για να αποδείξουν τα δικά τους θεωρήματα. Αλλά θεωρείται επίσης ως ένας πιθανός κρίκος σε μια μελλοντική απόδειξη του MLC.

Εργαστήριο και Οδηγός

Το περσινό συνέδριο σηματοδότησε την τελευταία φορά που μαθηματικοί θα συγκεντρωθούν στην παλιά στρατιωτική βάση στη Δανία. Το Πανεπιστήμιο Roskilde, το οποίο χορηγεί τη σειρά εργαστηρίων, εγκατέλειψε τη μίσθωση της τοποθεσίας φέτος.

Εάν οι Lyubich, Kahn, Dudko και Kapiamba μπορούν να συνδυάσουν τις διαφορετικές προσεγγίσεις τους για να αποδείξουν τελικά το MLC, θα σηματοδοτήσει το τέλος μιας άλλης εποχής - μιας εποχής που ξεκίνησε όταν οι Mandelbrot και Hubbard και Douady είδαν για πρώτη φορά το φράκταλ να εμφανίζεται στις οθόνες των υπολογιστών τους.

Ο τελευταίος μισός αιώνας εξερεύνησης του συνόλου Mandelbrot κατέστη δυνατή χάρη στην ανάπτυξη των γραφικών υπολογιστών. Τα μαθηματικά που δημιουργούν το φράκταλ είναι απλά: Το μόνο που χρειάζεται είναι να ξέρετε πώς να προσθέτετε και να πολλαπλασιάζετε. Όμως τα σχέδια που έκαναν το σετ διάσημο δεν θα μπορούσαν να είχαν γίνει με το χέρι. Βασίστηκαν στην εκτέλεση αυτών των εύκολων υπολογισμών εκατομμύρια φορές, κάτι που δεν ήταν εφικτό χωρίς υπολογιστές.

Κατ' αρχήν, ένας οραματιστής μαθηματικός θα μπορούσε να είχε μια στιγμιότυπο του συνόλου στο μάτι του πριν από εκατοντάδες χρόνια. Αλλά στο ξετύλιγμα της ιστορίας, αν και η ιδιοφυΐα μπορεί μερικές φορές να δει στον ορίζοντα, η τεχνολογία έχει διαμορφώσει αυτό που μπορεί κανείς να φανταστεί. Ο Φάτου, για παράδειγμα, «ήταν σε θέση να διατυπώσει εικασίες χωρίς να μπορέσει να δει το σύνολο του Μάντελμπροτ», είπε ο Μπαφ. Αλλά ο Φατού μπορούσε να πάει μόνο τόσο μακριά. Όσο ισχυρή κι αν ήταν η φαντασία του, υπάρχει ένας κόσμος πλούτου που στροβιλίζεται κάτω από το σετ Mandelbrot που ήταν απρόσιτος σε αυτόν, αλλά εύκολα ορατός σε έναν μέσο άνθρωπο σήμερα.

Ο Lyubich δεν έχει την τάση να χρησιμοποιεί υπολογιστές στη δουλειά του. «Ο τρόπος σκέψης μου είναι πολύ οπτικός», είπε. «Είναι πολύ γεωμετρικό. Σκέφτομαι από την άποψη των εικόνων — αλλά ζωγραφίζω λίγο πολύ πρωτόγονες εικόνες, με το χέρι ή στο μυαλό μου. Ποτέ δεν χρησιμοποιώ υπολογιστές με ουσιαστικό τρόπο». (Αστειεύεται ότι ίσως φταίει η δουλειά του προγραμματισμού που έκανε για λίγο στο Λένινγκραντ πριν μεταναστεύσει. «Με απώθησε», είπε.) Ωστόσο, ζει σε έναν κόσμο βουτηγμένο στους υπολογισμούς. Πίσω στα χωράφια με το βαμβάκι του Ουζμπεκιστάν, έφτασε και αυτός τόσο μακριά αφήνοντας τη φαντασία του ελεύθερη. «Ήταν ο Douady και ο Hubbard που είδαν το επόμενο επίπεδο βάθους», είπε — χρησιμοποιώντας τους υπολογιστές που ήταν διαθέσιμοι στη δεκαετία του 1980. Τις δεκαετίες από τότε, ο Lyubich είδε τους συνεργάτες του να χρησιμοποιούν τους υπολογιστές ως εργαστήριο και ως οδηγό. Στη μία κοινή του εργασία με τον Μίλνορ, θυμάται, ο Μίλνορ διεξήγαγε αρκετά πειράματα υπολογιστή για να βοηθήσει να κατευθύνουν την απόδειξή τους στη σωστή κατεύθυνση. Και ο Dudko επιστρέφει ξανά και ξανά στον υπολογιστή ενώ εργαζόταν με τον Lyubich. «Είναι πολύ καλός στο να ερμηνεύει αυτό που βλέπει», είπε ο Lyubich, «για να μεταφράζει αυτές τις εικόνες σε μαθηματική γλώσσα και να διατυπώνει πολύ βαθιές εικασίες».

Ο Γαλιλαίος ανακάλυψε τα φεγγάρια του Δία όχι μόνο επειδή είχε αναπτύξει τη σωστή θεωρία για να κατανοήσει αυτό που έβλεπε, αλλά επειδή είχε ένα τηλεσκόπιο. Ομοίως, υπάρχουν ολόκληρα τμήματα του μαθηματικού σύμπαντος που παραμένουν κρυμμένα μέχρι η τεχνολογική αλλαγή να τα κάνει ορατά. Δεν μπορούν να ανακαλυφθούν με καθαρή σκέψη, όπως τα φεγγάρια του Δία μπορούν να διακριθούν με το στραβισμό.

Εάν η υπολογιστική επανάσταση των δεκαετιών του 1970 και του 80 άνοιξε την ήπειρο του Mandelbrot για εξερεύνηση, οι μαθηματικοί θα μπορούσαν σήμερα να βρίσκονται στο κατώφλι ενός άλλου τέτοιου σημείου καμπής. Η τεχνητή νοημοσύνη μόλις αρχίζει να χρησιμοποιείται για τη διατύπωση ουσιαστικών εικασιών και την απόδειξη σημαντικών μαθηματικών αποτελεσμάτων. Είναι δύσκολο —ίσως αδύνατο— να μετρήσει κανείς τις δυνατότητές του με σιγουριά. ("Πρέπει να προσπαθήσουμε να εκπαιδεύσουμε ένα νευρωνικό δίκτυο για να ζουμάρουμε γύρω από το σύνολο Mandelbrot", αστειεύτηκε ο Kapiamba.) Αλλά αν η ιστορία του συνόλου Mandelbrot είναι μια από τις οποίες οι μαθηματικοί μπορούν να χρησιμοποιήσουν την καθαρή σκέψη για να ερευνήσουν μια οπτική που ανοίγει η τεχνολογία , μένει να γραφτεί το επόμενο κεφάλαιο.

«Ποτέ δεν είχα την αίσθηση ότι η φαντασία μου ήταν αρκετά πλούσια ώστε να εφεύρει όλα αυτά τα εξαιρετικά πράγματα», είπε κάποτε ο Mandelbrot. «Ήταν εκεί, παρόλο που κανείς δεν τους είχε ξαναδεί».