Τυχαίες διεργασίες λαμβάνουν χώρα παντού γύρω μας. Βρέχει τη μια μέρα αλλά όχι την άλλη. Οι μετοχές και τα ομόλογα αποκτούν και χάνουν αξία. η κυκλοφοριακή συμφόρηση συνενώνεται και εξαφανίζεται. Επειδή διέπονται από πολλούς παράγοντες που αλληλεπιδρούν μεταξύ τους με περίπλοκους τρόπους, είναι αδύνατο να προβλεφθεί η ακριβής συμπεριφορά τέτοιων συστημάτων. Αντίθετα, τα σκεφτόμαστε με όρους πιθανοτήτων, χαρακτηρίζοντας τα αποτελέσματα ως πιθανά ή σπάνια.

Σήμερα, ο Γάλλος θεωρητικός των πιθανοτήτων Μισέλ Ταλαγκράντ του απονεμήθηκε το βραβείο Abel, μια από τις υψηλότερες διακρίσεις στα μαθηματικά, για την ανάπτυξη μιας βαθιάς και εκλεπτυσμένης κατανόησης τέτοιων διαδικασιών. Το βραβείο, που παρουσίασε ο βασιλιάς της Νορβηγίας, βασίζεται στο πρότυπο του Νόμπελ και συνοδεύεται από 7.5 εκατομμύρια νορβηγικές κορώνες (περίπου 700,000 δολάρια). Όταν του είπαν ότι κέρδισε, «το μυαλό μου έμεινε άδειο», είπε ο Talagrand. «Το είδος των μαθηματικών που κάνω δεν ήταν καθόλου της μόδας όταν ξεκίνησα. Θεωρούνταν κατώτερα μαθηματικά. Το γεγονός ότι μου δόθηκε αυτό το βραβείο είναι απόλυτη απόδειξη ότι αυτό δεν ισχύει».

Άλλοι μαθηματικοί συμφωνούν. Το έργο του Talagrand «άλλαξε τον τρόπο που βλέπω τον κόσμο», είπε Ασάφ Ναόρ του Πανεπιστημίου Πρίνστον. Σήμερα, προστέθηκε Χέλγκε Χόλντεν, ο πρόεδρος της επιτροπής του βραβείου Abel, «γίνεται πολύ δημοφιλές να περιγράφονται και να μοντελοποιούνται γεγονότα του πραγματικού κόσμου με τυχαίες διαδικασίες. Η εργαλειοθήκη του Ταλάγκραντ εμφανίζεται αμέσως».

Ο Ταλάγκραντ βλέπει τη ζωή του ως μια αλυσίδα απίθανων γεγονότων. Μετά βίας πέρασε το δημοτικό σχολείο στη Λυών: Αν και ενδιαφερόταν για τις επιστήμες, δεν του άρεσε να σπουδάζει. Όταν ήταν 5 ετών, έχασε την όρασή του στο δεξί του μάτι μετά την αποκόλληση του αμφιβληστροειδούς του. Σε ηλικία 15 ετών, υπέστη τρεις αποκολλήσεις αμφιβληστροειδούς στο άλλο του μάτι, αναγκάζοντάς τον να περάσει ένα μήνα στο νοσοκομείο, με τα μάτια δεμένα, φοβούμενος ότι θα τυφλωθεί. Ο πατέρας του, καθηγητής μαθηματικών, τον επισκεπτόταν καθημερινά, κρατώντας το μυαλό του απασχολημένο μαθαίνοντάς του μαθηματικά. «Έτσι έμαθα τη δύναμη της αφαίρεσης», Talagrand έγραψε στο 2019 αφού κέρδισε το βραβείο Shaw, ένα άλλο σημαντικό βραβείο μαθηματικών που συνοδεύεται από δώρο 1.2 εκατομμυρίων δολαρίων. (Ο Talagrand χρησιμοποιεί μερικά από αυτά τα χρήματα, μαζί με τα κέρδη του Abel, για να βρει ένα δικό του βραβείο, «αναγνωρίζοντας τα επιτεύγματα νέων ερευνητών στους τομείς στους οποίους έχω αφιερώσει τη ζωή μου».)

Έχασε μισό χρόνο από το σχολείο ενώ ανάρρωσε, αλλά εμπνεύστηκε να αρχίσει να επικεντρώνεται στις σπουδές του. Διέπρεψε στα μαθηματικά και μετά την αποφοίτησή του από το κολέγιο το 1974, προσλήφθηκε στο Εθνικό Κέντρο Επιστημονικής Έρευνας της Γαλλίας, το μεγαλύτερο ερευνητικό ίδρυμα της Ευρώπης, όπου εργάστηκε μέχρι τη συνταξιοδότησή του το 2017. Κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου, απέκτησε το διδακτορικό του. ερωτεύτηκε τη μέλλουσα σύζυγό του, στατιστικολόγο, με την πρώτη ματιά (της έκανε πρόταση γάμου τρεις μέρες μετά τη συνάντησή της). και σταδιακά ανέπτυξε ενδιαφέρον για τις πιθανότητες, δημοσιεύοντας εκατοντάδες εργασίες για το θέμα.

Αυτό δεν ήταν προκαθορισμένο. Ο Talagrand ξεκίνησε την καριέρα του μελετώντας γεωμετρικούς χώρους υψηλών διαστάσεων. «Για 10 χρόνια, δεν είχα ανακαλύψει σε τι ήμουν καλός», είπε. Δεν μετανιώνει όμως για αυτή την παράκαμψη. Τελικά τον οδήγησε στη θεωρία πιθανοτήτων, όπου «είχα αυτή την άλλη άποψη… που μου έδωσε έναν τρόπο να δω τα πράγματα διαφορετικά», είπε. Του έδωσε τη δυνατότητα να εξετάσει τυχαίες διεργασίες μέσω του φακού της γεωμετρίας υψηλών διαστάσεων.

«Φέρνει τη γεωμετρική του διαίσθηση για να λύσει καθαρά πιθανολογικές ερωτήσεις», είπε ο Naor.

Μια τυχαία διαδικασία είναι μια συλλογή γεγονότων των οποίων τα αποτελέσματα ποικίλλουν ανάλογα με την τύχη με τρόπο που μπορεί να μοντελοποιηθεί - όπως μια ακολουθία ανατροπών νομισμάτων ή οι τροχιές των ατόμων σε ένα αέριο ή τα ημερήσια σύνολα βροχοπτώσεων. Οι μαθηματικοί θέλουν να κατανοήσουν τη σχέση μεταξύ των ατομικών αποτελεσμάτων και της συνολικής συμπεριφοράς. Πόσες φορές πρέπει να γυρίσετε ένα νόμισμα για να καταλάβετε αν είναι δίκαιο; Θα ξεχειλίσει ένα ποτάμι από τις όχθες του;

Ο Talagrand επικεντρώθηκε σε διαδικασίες των οποίων τα αποτελέσματα κατανέμονται σύμφωνα με μια καμπύλη σε σχήμα καμπάνας που ονομάζεται Gaussian. Τέτοιες κατανομές είναι κοινές στη φύση και έχουν μια σειρά από επιθυμητές μαθηματικές ιδιότητες. Ήθελε να μάθει τι μπορεί να ειπωθεί με βεβαιότητα για τα ακραία αποτελέσματα σε αυτές τις καταστάσεις. Έτσι απέδειξε ένα σύνολο ανισοτήτων που έβαζαν αυστηρά άνω και κάτω όρια στα πιθανά αποτελέσματα. «Το να αποκτήσεις μια καλή ανισότητα είναι ένα έργο τέχνης», είπε ο Χόλντεν. Αυτή η τέχνη είναι χρήσιμη: οι μέθοδοι του Talagrand μπορούν να δώσουν μια βέλτιστη εκτίμηση για, ας πούμε, την υψηλότερη στάθμη στην οποία θα μπορούσε να ανέβει ένας ποταμός τα επόμενα 10 χρόνια ή το μέγεθος του ισχυρότερου πιθανού σεισμού.

Όταν έχουμε να κάνουμε με πολύπλοκα, υψηλών διαστάσεων δεδομένα, η εύρεση τέτοιων μέγιστων τιμών μπορεί να είναι δύσκολη.

Ας υποθέσουμε ότι θέλετε να αξιολογήσετε τον κίνδυνο πλημμύρας ενός ποταμού — ο οποίος θα εξαρτηθεί από παράγοντες όπως οι βροχοπτώσεις, ο άνεμος και η θερμοκρασία. Μπορείτε να μοντελοποιήσετε το ύψος του ποταμού ως τυχαία διαδικασία. Ο Talagrand πέρασε 15 χρόνια αναπτύσσοντας μια τεχνική που ονομάζεται γενική αλυσίδα που του επέτρεψε να δημιουργήσει έναν γεωμετρικό χώρο υψηλών διαστάσεων που σχετίζεται με μια τέτοια τυχαία διαδικασία. Η μέθοδός του «σας δίνει έναν τρόπο να διαβάσετε το μέγιστο από τη γεωμετρία», είπε ο Naor.

Η τεχνική είναι πολύ γενική και επομένως ευρέως εφαρμόσιμη. Ας υποθέσουμε ότι θέλετε να αναλύσετε ένα τεράστιο σύνολο δεδομένων υψηλών διαστάσεων που εξαρτάται από χιλιάδες παραμέτρους. Για να εξαγάγετε ένα ουσιαστικό συμπέρασμα, θέλετε να διατηρήσετε τα πιο σημαντικά χαρακτηριστικά του συνόλου δεδομένων, χαρακτηρίζοντάς το από την άποψη λίγων μόνο παραμέτρων. (Για παράδειγμα, αυτός είναι ένας τρόπος ανάλυσης και σύγκρισης των περίπλοκων δομών διαφορετικών πρωτεϊνών.) Πολλές μέθοδοι τελευταίας τεχνολογίας επιτυγχάνουν αυτήν την απλούστευση εφαρμόζοντας μια τυχαία λειτουργία που χαρτογραφεί τα δεδομένα υψηλών διαστάσεων σε χώρο χαμηλότερης διάστασης . Οι μαθηματικοί μπορούν να χρησιμοποιήσουν τη γενική μέθοδο αλυσοποίησης του Talagrand για να προσδιορίσουν το μέγιστο ποσό σφάλματος που εισάγει αυτή η διαδικασία — επιτρέποντάς τους να προσδιορίσουν τις πιθανότητες να μην διατηρηθεί κάποιο σημαντικό χαρακτηριστικό στο απλουστευμένο σύνολο δεδομένων.

Το έργο του Talagrand δεν περιοριζόταν μόνο στην ανάλυση των καλύτερων και των χειρότερων δυνατών αποτελεσμάτων μιας τυχαίας διαδικασίας. Μελέτησε επίσης τι συμβαίνει στη μέση περίπτωση.

Σε πολλές διαδικασίες, τυχαία μεμονωμένα συμβάντα μπορούν, συνολικά, να οδηγήσουν σε εξαιρετικά ντετερμινιστικά αποτελέσματα. Εάν οι μετρήσεις είναι ανεξάρτητες, τότε τα σύνολα γίνονται πολύ προβλέψιμα, ακόμα κι αν κάθε μεμονωμένο γεγονός είναι αδύνατο να προβλεφθεί. Για παράδειγμα, γυρίστε ένα ωραίο νόμισμα. Δεν μπορείς να πεις τίποτα εκ των προτέρων για το τι θα γίνει. Γυρίστε το 10 φορές και θα λάβετε τέσσερις, πέντε ή έξι κεφαλές — κοντά στην αναμενόμενη τιμή των πέντε κεφαλών — περίπου στο 66% του χρόνου. Αλλά γυρίστε το νόμισμα 1,000 φορές και θα έχετε μεταξύ 450 και 550 κεφαλές στο 99.7% των περιπτώσεων, ένα αποτέλεσμα που συγκεντρώνεται ακόμη περισσότερο γύρω από την αναμενόμενη τιμή των 500. «Είναι εξαιρετικά ευκρινές γύρω από το μέσο όρο», είπε ο Holden.

«Αν και κάτι έχει τόση τυχαιότητα, η τυχαιότητα ακυρώνεται», είπε ο Naor. «Αυτό που αρχικά φαινόταν σαν ένα φρικτό χάος είναι στην πραγματικότητα οργανωμένο».

Αυτό το φαινόμενο, γνωστό ως συγκέντρωση του μέτρου, εμφανίζεται και σε πολύ πιο περίπλοκες τυχαίες διαδικασίες. Ο Talagrand βρήκε μια συλλογή από ανισότητες που καθιστούν δυνατή την ποσοτικοποίηση αυτής της συγκέντρωσης και απέδειξε ότι προκύπτει σε πολλά διαφορετικά πλαίσια. Οι τεχνικές του σημάδεψαν μια απόκλιση από την προηγούμενη δουλειά στην περιοχή. Η απόδειξη της πρώτης τέτοιας ανισότητας, έγραψε στο δοκίμιό του το 2019, ήταν «μια μαγική εμπειρία». Ήταν «σε μια κατάσταση συνεχούς αγαλλίασης».

Είναι ιδιαίτερα περήφανος για μια από τις μετέπειτα ανισότητες συγκέντρωσης του. «Δεν είναι εύκολο να έχεις ένα αποτέλεσμα που προσπαθεί να σκεφτεί το σύμπαν και που ταυτόχρονα έχει μια μονοσέλιδη απόδειξη που είναι εύκολο να εξηγηθεί», είπε. (Θυμάται με ευχαρίστηση ότι κάποτε χρησιμοποίησε μια υπηρεσία ταξί της οποίας ο ιδιοκτήτης αναγνώρισε το όνομά του, έχοντας μάθει την ανισότητα κατά τη διάρκεια ενός μαθήματος πιθανοτήτων στη σχολή επιχειρήσεων. «Ήταν εξαιρετικό», είπε.)

Όπως η γενική μέθοδος αλυσιδωτής του, οι ανισότητες συγκέντρωσης του Talagrand εμφανίζονται σε όλα τα μαθηματικά. «Είναι εκπληκτικό πόσο μακριά φτάνει», είπε ο Naor. «Οι ανισότητες του Ταλαγκράν είναι οι βίδες που συγκρατούν τα πράγματα».

Εξετάστε ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης όπου πρέπει να ταξινομήσετε αντικείμενα διαφορετικών μεγεθών σε κάδους — ένα μοντέλο κατανομής πόρων. Όταν έχετε πολλά αντικείμενα, είναι πολύ δύσκολο να υπολογίσετε τον μικρότερο αριθμό κάδων που θα χρειαστείτε. Αλλά οι ανισότητες του Talagrand μπορούν να σας πουν πόσους κάδους είναι πιθανό να χρειαστείτε εάν τα μεγέθη των αντικειμένων είναι τυχαία.

Παρόμοιες μέθοδοι έχουν χρησιμοποιηθεί για την απόδειξη φαινομένων συγκέντρωσης στη συνδυαστική, τη φυσική, την επιστήμη των υπολογιστών, τη στατιστική και άλλες ρυθμίσεις.

Πιο πρόσφατα, ο Talagrand εφάρμοσε την κατανόησή του για τις τυχαίες διεργασίες για να αποδείξει μια σημαντική εικασία σχετικά με τα γυαλιά spin, τα διαταραγμένα μαγνητικά υλικά που δημιουργούνται από τυχαίες, συχνά αντικρουόμενες αλληλεπιδράσεις. Ο Talagrand ήταν απογοητευμένος που, αν και τα γυαλιά spin είναι μαθηματικά καλά καθορισμένα, οι φυσικοί τα κατανοούσαν καλύτερα από τους μαθηματικούς. «Ήταν ένα αγκάθι στο πόδι μας», είπε. Απέδειξε ένα αποτέλεσμα - για τη λεγόμενη ελεύθερη ενέργεια των γυαλιών περιστροφής - που παρείχε τη βάση για μια πιο μαθηματική θεωρία.

Σε όλη τη διάρκεια της καριέρας του, η έρευνα του Talagrand χαρακτηρίστηκε από «αυτή την ικανότητα να κάνει απλώς ένα βήμα πίσω και να βρει τις γενικές αρχές που μπορούν να επαναχρησιμοποιηθούν παντού», είπε ο Naor. «Ξαναεπισκέπτεται και ξαναεπισκέπτεται, και σκέφτεται κάτι από κάθε είδους οπτική γωνία. Και τελικά βγάζει μια διορατικότητα που γίνεται άλογο εργασίας, που όλοι χρησιμοποιούν».

«Μου αρέσει να καταλαβαίνω πολύ καλά τα απλά πράγματα, γιατί ο εγκέφαλός μου είναι πολύ αργός», είπε ο Talagrand. «Έτσι τους σκέφτομαι για πολύ, πολύ καιρό». Οδηγείται, είπε, από την επιθυμία «να κατανοήσει κάτι βαθιά, με έναν καθαρό τρόπο, που κάνει τη θεωρία πολύ πιο εύκολη. Τότε η επόμενη γενιά μπορεί να ξεκινήσει από εκεί και να προχωρήσει με τους δικούς της όρους».

Την τελευταία δεκαετία, το πέτυχε αυτό γράφοντας σχολικά βιβλία — όχι μόνο για τυχαίες διαδικασίες και γυαλιά περιστροφής, αλλά και για έναν τομέα στον οποίο δεν εργάζεται καθόλου, την κβαντική θεωρία πεδίου. Ήθελε να μάθει γι' αυτό, αλλά συνειδητοποίησε ότι όλα τα σχολικά βιβλία που μπορούσε να βρει ήταν γραμμένα από και για φυσικούς, όχι μαθηματικούς. Έγραψε λοιπόν ένα μόνος του. «Αφού δεν μπορείς πλέον να εφεύρεις πράγματα, μπορείς να τα εξηγήσεις», είπε.