Mitte der 1980er Jahre war die käferartige Silhouette des Mandelbrot-Sets allgegenwärtig, ebenso wie Walkman-Kassettenspieler und Batikhemden.

Auf der ganzen Welt haben Studenten damit die Wände von Wohnheimzimmern verputzt. Mathematiker erhielten Hunderte von Briefen mit eifrigen Anfragen nach Ausdrucken des Satzes. (Als Reaktion darauf erstellten einige von ihnen Kataloge mit Preislisten, andere stellten die auffälligsten Features in Büchern zusammen.) Technikbegeisterte Fans könnten sich an die Augustausgabe 1985 wenden Scientific American. Auf dem Einband entfaltete sich die Mandelbrot-Reihe in feurigen Ranken, der Rand brannte; Darin befanden sich sorgfältige Programmieranweisungen, in denen detailliert beschrieben wurde, wie die Leser das ikonische Bild für sich selbst generieren könnten.

Zu diesem Zeitpunkt hatten diese Ranken ihre Reichweite auch weit über die Mathematik hinaus ausgeweitet, in scheinbar nicht zusammenhängende Bereiche des Alltagslebens. In den nächsten Jahren sollte das Mandelbrot-Set die neuesten Gemälde von David Hockney und die neuesten Kompositionen mehrerer Musiker inspirieren – fugenartige Stücke im Stil von Bach. Es erschien auf den Seiten von John Updikes Belletristik und diente dem Literaturkritiker Hugh Kenner als Leitfaden für die Analyse der Gedichte von Ezra Pound. Es wurde Gegenstand psychedelischer Halluzinationen und eines beliebten Dokumentarfilms, der vom Science-Fiction-Star Arthur C. Clarke erzählt wurde.

Die Mandelbrot-Menge ist eine besondere Form mit einem fraktalen Umriss. Verwenden Sie einen Computer, um die gezackte Grenze des Sets zu vergrößern, und Sie werden auf Täler von Seepferdchen und Paraden von Elefanten, Spiralgalaxien und neuronenähnlichen Filamenten stoßen. Ganz gleich, wie tief Sie in die Materie eintauchen, Sie werden immer nahezu Kopien des Originalsets sehen – eine unendliche, schwindelerregende Kaskade der Selbstähnlichkeit.

Diese Selbstähnlichkeit war ein Kernelement von James Gleicks Bestseller Chaos, was den Platz der Mandelbrot-Menge in der Populärkultur festigte. „Es enthielt ein Universum von Ideen“, schrieb Gleick. „Eine moderne Kunstphilosophie, eine Rechtfertigung der neuen Rolle des Experimentierens in der Mathematik, eine Möglichkeit, komplexe Systeme einer großen Öffentlichkeit zugänglich zu machen.“

Die Mandelbrot-Menge war zum Symbol geworden. Es stellte die Notwendigkeit einer neuen mathematischen Sprache dar, einer besseren Möglichkeit, die fraktale Natur der Welt um uns herum zu beschreiben. Es veranschaulichte, wie tiefgreifende Komplexität aus den einfachsten Regeln entstehen kann – ähnlich wie das Leben selbst. („Es ist also eine echte Botschaft der Hoffnung“ John Hubbard, einer der ersten Mathematiker, der die Menge untersuchte, sagte in einem Video von 1989: „Möglicherweise kann die Biologie wirklich auf die gleiche Weise verstanden werden, wie diese Bilder verstanden werden können.“ In der Mandelbrot-Menge lebten Ordnung und Chaos in Harmonie; Determinismus und freier Wille könnten in Einklang gebracht werden. Ein Mathematiker erinnerte sich, dass er als Teenager über das Set gestolpert war und es als Metapher für die komplizierte Grenze zwischen Wahrheit und Falsch betrachtet hatte.

Die Mandelbrot-Menge war überall, bis sie es nicht mehr war.

Innerhalb eines Jahrzehnts schien es zu verschwinden. Die Mathematiker wandten sich anderen Themen zu und die Öffentlichkeit wandte sich anderen Symbolen zu. Heute, nur 40 Jahre nach seiner Entdeckung, ist das Fraktal zu einem Klischee und grenzwertigem Kitsch geworden.

Aber eine Handvoll Mathematiker weigerten sich, es aufzugeben. Sie haben ihr Leben der Aufdeckung der Geheimnisse der Mandelbrot-Menge gewidmet. Jetzt glauben sie, dass sie endlich kurz davor stehen, es wirklich zu verstehen.

Ihre Geschichte ist eine Geschichte der Erkundung, des Experimentierens – und davon, wie Technologie unsere Denkweise und die Fragen, die wir über die Welt stellen, prägt.

Die Kopfgeldjäger

Im Oktober 2023 versammelten sich 20 Mathematiker aus aller Welt in einem gedrungenen Backsteingebäude auf dem ehemaligen dänischen Militärforschungsstützpunkt. Der Stützpunkt wurde Ende des 1800. Jahrhunderts mitten im Wald erbaut und lag versteckt in einem Fjord an der Nordwestküste der bevölkerungsreichsten Insel Dänemarks. Ein alter Torpedo bewachte den Eingang. An den Wänden hingen Schwarzweißfotos, die Marineoffiziere in Uniform, an einem Dock aufgereihte Boote und laufende U-Boot-Tests zeigten. Drei Tage lang, während ein heftiger Wind das Wasser vor den Fenstern in schäumende Schaumkronen peitschte, saß die Gruppe einer Reihe von Vorträgen bei, die meisten davon von zwei Mathematikern der Stony Brook University in New York: Mischa Ljubitsch und Dima Dudko.

Zu den Zuhörern des Workshops gehörten einige der unerschrockensten Entdecker der Mandelbrot-Menge. Nahe vorne saß Mitsuhiro Shishikura von der Universität Kyoto, der in den 1990er Jahren bewies, dass die Grenze der Menge so kompliziert ist, wie sie nur sein kann. Ein paar Plätze weiter war Hiroyuki Inou, der zusammen mit Shishikura wichtige Techniken zur Untersuchung eines besonders wichtigen Bereichs der Mandelbrot-Menge entwickelte. In der letzten Reihe war Wolf Jung, der Schöpfer von Mandel, der bevorzugten Software für Mathematiker zur interaktiven Untersuchung der Mandelbrot-Menge. Mit dabei waren auch Arnaud Chéritat der Universität Toulouse, Carsten Petersen von der Universität Roskilde (die den Workshop organisierte) und mehrere andere, die wichtige Beiträge zum Verständnis der Mandelbrot-Menge durch Mathematiker geleistet hatten.

Und am Whiteboard standen Ljubich, der weltweit führende Experte auf diesem Gebiet, und Dudko, einer seiner engsten Mitarbeiter. Zusammen mit den Mathematikern Jeremy Kahn und Alex KapiambaSie arbeiten daran, eine seit langem bestehende Vermutung über die geometrische Struktur der Mandelbrot-Menge zu beweisen. Diese als MLC bekannte Vermutung ist das letzte Hindernis bei der jahrzehntelangen Suche nach der Charakterisierung des Fraktals und der Zähmung seiner verworrenen Wildnis.

Durch den Aufbau und die Weiterentwicklung eines leistungsstarken Werkzeugsatzes haben Mathematiker die Kontrolle über die Geometrie von „fast allem in der Mandelbrot-Menge“ erkämpft, sagte er Caroline Davis der Indiana University – mit Ausnahme einiger verbleibender Fälle. „Misha und Dima und Jeremy und Alex sind wie Kopfgeldjäger, die versuchen, diese Letzten aufzuspüren.“

Lyubich und Dudko waren in Dänemark, um andere Mathematiker über die jüngsten Fortschritte beim Beweis von MLC und die Techniken zu informieren, die sie dafür entwickelt hatten. In den letzten 20 Jahren trafen sich hier Forscher zu Workshops, die sich der Entschlüsselung von Ergebnissen und Methoden auf dem Gebiet der komplexen Analyse widmeten, der mathematischen Untersuchung der Arten von Zahlen und Funktionen, die zur Generierung der Mandelbrot-Menge verwendet werden.

Es war eine ungewöhnliche Konstellation: Die Mathematiker aßen alle Mahlzeiten zusammen und redeten und lachten bis in die frühen Morgenstunden bei einem Bier. Als sie sich schließlich dazu entschlossen, schlafen zu gehen, zogen sie sich in Etagenbetten oder Feldbetten in kleinen Zimmern zurück, die sie sich im zweiten Stock der Einrichtung teilten. (Bei unserer Ankunft wurde uns gesagt, wir sollten Laken und Kissenbezüge von einem Stapel nehmen und sie nach oben bringen, um unsere Betten zu machen.) In manchen Jahren wagen Konferenzteilnehmer ein Bad im eiskalten Wasser; häufiger wandern sie durch den Wald. Aber größtenteils gibt es außer Mathe nichts zu tun.

Typischerweise, so erzählte mir einer der Teilnehmer, ziehe der Workshop viele jüngere Mathematiker an. Aber das war dieses Mal nicht der Fall – vielleicht, weil es mitten im Semester war, oder, wie er spekulierte, weil das Thema so schwierig war. Er gab zu, dass ihn die Aussicht, vor so vielen Größen der Branche einen Vortrag zu halten, in diesem Moment etwas eingeschüchtert fühlte.

Aber wenn man bedenkt, dass die meisten Mathematiker im weiteren Bereich der komplexen Analysis nicht mehr direkt an der Mandelbrot-Menge arbeiten, warum sollte man dann einen ganzen Workshop der MLC widmen?

Die Mandelbrot-Menge ist mehr als ein Fraktal, und das nicht nur im metaphorischen Sinne. Es dient als eine Art Hauptkatalog dynamischer Systeme – aller verschiedenen Arten, wie sich ein Punkt nach einer einfachen Regel durch den Raum bewegen könnte. Um diesen Hauptkatalog zu verstehen, muss man viele verschiedene mathematische Landschaften durchqueren. Die Mandelbrot-Menge ist nicht nur eng mit der Dynamik verbunden, sondern auch mit Zahlentheorie, Topologie, algebraischer Geometrie, Gruppentheorie und sogar der Physik. „Es interagiert auf wunderbare Weise mit dem Rest der Mathematik“, sagte er Sabyasachi Mukherjee des Tata Institute of Fundamental Research in Indien.

Um Fortschritte bei MLC zu erzielen, mussten Mathematiker eine Reihe ausgefeilter Techniken entwickeln – was Chéritat „eine leistungsstarke Philosophie“ nennt. Diese Tools haben viel Aufmerksamkeit erregt. Heute bilden sie eine zentrale Säule in der Untersuchung dynamischer Systeme im weiteren Sinne. Sie haben sich als entscheidend für die Lösung einer Vielzahl anderer Probleme erwiesen – Probleme, die nichts mit der Mandelbrot-Menge zu tun haben. Und sie haben MLC von einer Nischenfrage zu einer der tiefgreifendsten und wichtigsten offenen Vermutungen auf diesem Gebiet gemacht.

Lyubich, der Mathematiker, der wohl am meisten dafür verantwortlich ist, diese „Philosophie“ in ihre heutige Form zu bringen, steht aufrecht und aufrecht da und spricht leise. Wenn andere Mathematiker im Workshop auf ihn zukommen, um ein Konzept zu besprechen oder eine Frage zu stellen, schließt er die Augen und hört aufmerksam zu, die dicken Augenbrauen gerunzelt. Er antwortet vorsichtig und mit russischem Akzent.

Aber er bricht auch schnell in lautes, warmes Lachen aus und macht ironische Witze. Er ist großzügig mit seiner Zeit und seinen Ratschlägen. Er habe „wirklich viele Generationen von Mathematikern gefördert“, sagte Mukherjee, einer von Lyubichs ehemaligen Postdoktoranden und häufiger Mitarbeiter. Er erzählt, dass jeder, der sich für das Studium komplexer Dynamiken interessiert, einige Zeit in Stony Brook verbringt und von Lyubich lernt. „Misha hat eine Vorstellung davon, wie wir ein bestimmtes Projekt angehen sollten oder worauf wir als nächstes achten sollten“, sagte Mukherjee. „Er hat dieses großartige Bild im Kopf. Und das teilt er gerne mit den Menschen.“

Zum ersten Mal hat Lyubich das Gefühl, dieses großartige Bild in seiner Gesamtheit sehen zu können.

Die Preiskämpfer

Das Mandelbrot-Set begann mit einem Preis.

Im Jahr 1915 rief die Französische Akademie der Wissenschaften, motiviert durch die jüngsten Fortschritte bei der Erforschung von Funktionen, einen Wettbewerb aus: In drei Jahren würde sie einen Hauptpreis von 3,000 Francs für Arbeiten am Prozess der Iteration ausloben – genau dem Prozess, der dies tun würde Generieren Sie später die Mandelbrot-Menge.

Unter Iteration versteht man die wiederholte Anwendung einer Regel. Fügen Sie eine Zahl in eine Funktion ein und verwenden Sie dann die Ausgabe als nächste Eingabe. Machen Sie so weiter und beobachten Sie, was mit der Zeit passiert. Wenn Sie Ihre Funktion weiter iterieren, können die Zahlen, die Sie erhalten, schnell in Richtung Unendlich ansteigen. Oder sie könnten zu einer bestimmten Zahl hingezogen werden, wie Eisenspäne, die sich zu einem Magneten bewegen. Oder sie landen zwischen den gleichen zwei Zahlen, oder drei oder tausend, in einer stabilen Umlaufbahn, aus der sie niemals entkommen können. Oder hüpfen Sie ohne Sinn und Zweck von einer Zahl zur nächsten und folgen Sie dabei einem chaotischen, unvorhersehbaren Weg.

Die Französische Akademie und Mathematiker im weiteren Sinne hatten einen weiteren Grund, sich für Iteration zu interessieren. Der Prozess spielte eine wichtige Rolle bei der Untersuchung dynamischer Systeme – Systeme wie die Rotation von Planeten um die Sonne oder die Strömung eines turbulenten Stroms, Systeme, die sich im Laufe der Zeit nach bestimmten Regeln ändern.

Der Preis inspirierte zwei Mathematiker dazu, ein völlig neues Forschungsgebiet zu entwickeln.

Der erste war Pierre Fatou, der in einem anderen Leben vielleicht ein Marinemann gewesen wäre (eine Familientradition), wenn nicht sein schlechter Gesundheitszustand gewesen wäre. Stattdessen verfolgte er eine Karriere in Mathematik und Astronomie und konnte 1915 bereits mehrere wichtige Ergebnisse in der Analysis nachweisen. Dann war da noch Gaston Julia, ein vielversprechender junger Mathematiker, der im französisch besetzten Algerien geboren wurde und dessen Studium durch den Ersten Weltkrieg und seine Einberufung in die französische Armee unterbrochen wurde. Im Alter von 22 Jahren, nachdem er sich kurz nach Dienstantritt eine schwere Verletzung zugezogen hatte – er trug für den Rest seines Lebens ein Lederband über seinem Gesicht, da die Ärzte den Schaden nicht reparieren konnten –, kehrte er zur Mathematik zurück und beschäftigte sich teilweise damit die Arbeit, die er für den Akademiepreis einreichen würde, aus einem Krankenhausbett.

Der Preis motivierte sowohl Fatou als auch Julia, zu untersuchen, was passiert, wenn man Funktionen iteriert. Sie arbeiteten unabhängig voneinander, machten aber am Ende sehr ähnliche Entdeckungen. Es gab so viele Überschneidungen in ihren Ergebnissen, dass auch heute noch nicht immer klar ist, wie die Gutschrift zuzuordnen ist. (Julia war kontaktfreudiger und erhielt daher mehr Aufmerksamkeit. Am Ende gewann er den Preis; Fatou bewarb sich nicht einmal.) Aufgrund dieser Arbeit gelten die beiden heute als Begründer des Gebiets der komplexen Dynamik.

„Komplex“, weil Fatou und Julia Funktionen komplexer Zahlen iterierten – Zahlen, die eine bekannte reelle Zahl mit einer sogenannten imaginären Zahl (einem Vielfachen von) kombinieren i, das Symbol, mit dem Mathematiker die Quadratwurzel von −1 bezeichnen). Während reelle Zahlen als Punkte auf einer Linie dargestellt werden können, werden komplexe Zahlen als Punkte auf einer Ebene dargestellt, etwa so:

Fatou und Julia fanden heraus, dass die Iteration selbst einfacher komplexer Funktionen (kein Paradoxon im Bereich der Mathematik!) je nach Ausgangspunkt zu reichhaltigem und kompliziertem Verhalten führen kann. Sie begannen, diese Verhaltensweisen zu dokumentieren und geometrisch darzustellen.

Doch dann geriet ihre Arbeit für ein halbes Jahrhundert in Vergessenheit. „Die Leute wussten nicht einmal, wonach sie suchen sollten. Sie konnten nur begrenzte Fragen stellen“, sagte er Artur Avila, Professor an der Universität Zürich.

Dies änderte sich, als die Computergrafik in den 1970er Jahren erwachsen wurde.

Der Mathematiker Benoît Mandelbrot hatte sich inzwischen den Ruf eines akademischen Dilettanten erworben. Während seiner Arbeit im IBM-Forschungszentrum nördlich von New York City hatte er sich in vielen verschiedenen Bereichen versucht, von der Wirtschaft bis zur Astronomie. Als er 1974 zum IBM Fellow ernannt wurde, hatte er noch mehr Freiheiten, unabhängige Projekte zu verfolgen. Er beschloss, die beträchtliche Rechenleistung des Zentrums zu nutzen, um komplexe Dynamiken aus dem Winterschlaf zu holen.

Zunächst nutzte Mandelbrot die Computer, um die Formen zu erzeugen, die Fatou und Julia untersucht hatten. Die Bilder kodierten Informationen darüber, wann ein Ausgangspunkt bei der Iteration ins Unendliche entweichen würde und wann er in einem anderen Muster gefangen wäre. Die Zeichnungen von Fatou und Julia aus der Zeit vor 60 Jahren sahen aus wie Ansammlungen von Kreisen und Dreiecken – aber die computergenerierten Bilder, die Mandelbrot machte, sahen aus wie Drachen und Schmetterlinge, Kaninchen und Kathedralen und Blumenkohlköpfe, manchmal sogar wie getrennte Staubwolken. Zu diesem Zeitpunkt hatte Mandelbrot bereits das Wort „Fraktal“ für Formen geprägt, die in verschiedenen Maßstäben ähnlich aussahen; Das Wort rief die Vorstellung einer neuen Art von Geometrie hervor – etwas Fragmentiertes, Bruchstückiges oder Gebrochenes.

Die Bilder, die auf seinem Computerbildschirm erschienen – heute als Julia-Sets bekannt – gehörten zu den schönsten und kompliziertesten Beispielen für Fraktale, die Mandelbrot je gesehen hatte.

Die Arbeit von Fatou und Julia hatte sich auf die Geometrie und Dynamik jeder dieser Mengen (und ihrer entsprechenden Funktionen) einzeln konzentriert. Aber Computer gaben Mandelbrot die Möglichkeit, über eine ganze Familie von Funktionen auf einmal nachzudenken. Er konnte sie alle in dem Bild verschlüsseln, das später seinen Namen tragen sollte. Es bleibt jedoch umstritten, ob er tatsächlich der Erste war, der es entdeckte.

Die Mandelbrot-Menge befasst sich mit den einfachsten Gleichungen, die bei der Iteration immer noch etwas Interessantes bewirken. Dies sind quadratische Funktionen der Form f(z) = z² + c. Legen Sie einen Wert fest c – es kann jede komplexe Zahl sein. Wenn Sie die Gleichung iterieren, beginnend mit z = 0 und stellen Sie fest, dass die von Ihnen generierten Zahlen klein (oder begrenzt, wie Mathematiker sagen) bleiben c ist in der Mandelbrot-Menge. Wenn Sie andererseits iterieren und feststellen, dass Ihre Zahlen schließlich in Richtung Unendlich wachsen, dann c ist nicht in der Mandelbrot-Menge.

Es ist einfach, die Werte von zu zeigen c nahe Null sind in der Menge enthalten. Und es ist ähnlich einfach, diese großen Werte zu zeigen c sind nicht. Aber komplexe Zahlen machen ihrem Namen alle Ehre: Die Grenze der Menge ist äußerst komplex. Es gibt keinen offensichtlichen Grund für diese Änderung c Durch geringfügige Vergrößerungen sollten Sie immer wieder die Grenze überschreiten, aber wenn Sie hineinzoomen, erscheinen endlose Mengen an Details.

Darüber hinaus verhält sich die Mandelbrot-Menge wie eine Karte von Julia-Mengen. Werte von c in der Mandelbrot-Menge entsprechen zusammenhängenden Julia-Mengen. Wenn Sie jedoch die Mandelbrot-Menge verlassen, ist die entsprechende Julia-Menge unzusammenhängender Staub.

Das erste veröffentlichte Bild der Menge, eine grobe Darstellung von nur ein paar hundert Sternchen, erschien 1978 in einer Arbeit der Mathematiker Robert Brooks und J. Peter Matelski, die sich mit einer scheinbar unabhängigen Frage der Gruppentheorie und der hyperbolischen Geometrie befassten.

Es war Mandelbrot, der das Set erkannte und populär machte. Nachdem er die Computer von IBM verwendet hatte, um Hunderte von Julia-Mengen grafisch darzustellen, versuchte er, sie alle gleichzeitig darzustellen. Im Jahr 1980 gelang es ihm schließlich, mit einer weitaus ausgefeilteren Rechenleistung als Brooks und Matelski, eine weitaus bessere Version der Mandelbrot-Menge zu erstellen (wenn auch nach heutigen Maßstäben immer noch grob). Er verliebte sich sofort und beschloss, das Fraktal so öffentlich wie möglich zu machen. Aus diesem Grund wurde das Set nach ihm benannt. (Mandelbrot selbst war unter Mathematikern unbeliebt, weil er die Angewohnheit hatte, von einem Thema zum anderen zu springen, ohne tiefgreifende Ergebnisse zu beweisen, und weil er bei seinem Bemühen, Entdeckungen wie die Mandelbrot-Menge zu würdigen, oft energisch vorging.)

Die Computerbilder erregten sofort die Aufmerksamkeit einiger der tiefsten Denker der Mathematik. „Alle waren sehr interessiert, als wir tatsächlich sehen konnten, was vor sich ging“, sagte Kapiamba, der derzeit Postdoktorand an der Brown University ist.

Niemand hatte gedacht, wie reich die Welt der quadratischen Gleichungen sein könnte. „Es ist, als ob man eine Geode, einen einfach aussehenden Stein, öffnet und in seinem Inneren all diese Kristalle findet – diese erstaunlich komplexe Struktur“, sagte er Anna Benini der Universität Parma in Italien.

„Mathematiker sahen Dinge, die sie sich vorher nicht vorstellen konnten“, sagte Avila. „Wir alle haben diesen Erkundungen heutzutage viel zu verdanken.“

Innerhalb weniger Jahre hatten Hubbard und der Mathematiker Adrien Douady eine Vielzahl von Ergebnissen sowohl über die Mandelbrot-Menge als auch über die von ihr repräsentierten Julia-Mengen bewiesen. Aber ihre Beweise waren handschriftlich und „hauptsächlich nur für Douady und mich verständlich“, schrieb Hubbard. Und so schrieb und hielt Douady 1983 eine Reihe von Vorträgen, um diese frühen Ergebnisse zu erläutern. Anschließend fasste er das Material seiner Vorlesungen in einem einzigen Dokument zusammen, das er „Orsay-Notizen“ nannte. Mit fast 200 Seiten wurde es schnell zur Bibel der Branche.

In den Orsay-Notizen bewiesen Douady und Hubbard mehrere wichtige Theoreme, die auf den Computerbildern beruhten, die sie gesehen hatten. Sie zeigten, dass die Mandelbrot-Menge zusammenhängend ist – dass man eine Linie von jedem Punkt der Menge zu jedem anderen zeichnen kann, ohne den Bleistift anzuheben. Mandelbrot hatte zunächst das Gegenteil vermutet: Seine ersten Bilder des Sets sahen aus wie eine große Insel mit vielen kleinen Kindern, die im Meer um sie herum schwammen. Aber später, nachdem er Bilder mit höherer Auflösung gesehen hatte – darunter auch solche, die mit Farbe veranschaulichten, wie schnell Gleichungen außerhalb der Menge ins Unendliche flogen – änderte Mandelbrot seine Vermutung. Es wurde deutlich, dass diese kleinen Inseln alle durch sehr dünne Ranken verbunden waren. Die Einführung von Farbe „ist eine sehr banale Sache, aber sie ist wichtig“, sagte er Søren Eilers der Universität Kopenhagen.

Douadys Interesse an der Mandelbrot-Menge war ansteckend. In seiner Wohnung veranstaltete er üppige Mahlzeiten, Partys und Konzerte und war dafür bekannt, barfuß durch die Korridore der Universitäten in Frankreich zu laufen, an denen er lehrte – und in der Öffentlichkeit laut zu singen. (Er wurde oft mit einem Straßenmusiker verwechselt.) In seinen späteren Jahren las er nie Mathematikarbeiten; Stattdessen lud er ihre Autoren ein, ihn zu besuchen und ihm das Werk direkt zu erklären.

„Ich würde ihn mit Malern der Renaissance vergleichen, die eine Schule von Schülern um sich hatten“, sagte er Xavier Buff, Mathematiker an der Universität Toulouse und einer von Douadys ehemaligen Doktoranden. "Es war sehr aufregend."

Ein wichtiger Teil der Orsay-Notizen war eine bescheidene Aussage, die bald zur wichtigsten Frage zur Mandelbrot-Menge werden sollte: die MLC-Vermutung.

 MLC geht davon aus, dass die Mandelbrot-Menge nicht nur zusammenhängend ist; Es ist lokal verbunden – ganz gleich, wie sehr Sie die Mandelbrot-Menge vergrößern, es wird immer wie ein zusammenhängendes Teil aussehen. Beispielsweise ist ein Kreis lokal zusammenhängend. Ein extrem feinzinkiger Kamm hingegen nicht. Obwohl die gesamte Form miteinander verbunden ist, sehen Sie, wenn Sie den Schaft überspringen und stattdessen die Spitzen einiger seiner Zähne vergrößern, nur eine Reihe separater Liniensegmente.

Obwohl MLC eine einfache Aussage über die Geometrie der Mandelbrot-Menge ist, erlangte es schnell den Ruf, unglaublich schwierig zu sein. Viele Mathematiker zögerten, daran zu arbeiten. Es schien so technisch und zeitaufwändig zu sein – ein riskantes Problem, das man ins Visier nehmen wollte. Mehr als ein Mathematiker verließ die Mathematik deswegen. Avila hält seine Studenten aktiv vom MLC und verwandten Forschungsbereichen fern, bis sie Zeit haben, die gesamte Mathematik zu erlernen, die sie benötigen, um weiterzukommen. "Ich zitiere Der König der Löwen und sagen Sie: „Sehen Sie, da ist die ganze Dynamik.“ Alles, was Sie sehen können, ist Ihre Domain. Aber es gibt diese dunkle Ecke, die man nicht erkunden sollte … denn wenn man diesen Teil erforscht, sitzt man fest und kommt nie wieder heraus“, sagte er. „Es gibt so viel, was man lernen muss, um hier reinzukommen.“

Doch einige Mathematiker konnten nicht widerstehen.

Nur verbinden

Misha Lyubich wuchs in den 1960er Jahren in Charkiw, der zweitgrößten Stadt der Ukraine, auf. Stalin war tot; Nikita Chruschtschow hatte kurzzeitig die Macht inne, wurde aber bald von Leonid Breschnew abgelöst. Die sowjetische Wirtschaft florierte, stagnierte jedoch im Laufe des Jahrzehnts. Die Spannungen mit dem Westen waren auf einem Allzeithoch.

Lyubichs Vater war Professor für Mathematik an der Universität Charkiw, seine Mutter Programmiererin; Er erinnert sich an andere Mathematiker, die zu ihm nach Hause kamen, als er jung war, wo Mathematik immer in der Luft lag und ein häufiges Gesprächsthema war. „Das Leben um mich herum war Mathematik“, sagte er.

Als Jude in der Sowjetunion – wo es „eine staatliche Politik gab, die versuchte, Juden von der aktiven Beteiligung in verschiedenen Bereichen auszuschließen“, sagte Lyubich – hatte er Schwierigkeiten, an Spitzenuniversitäten zu gelangen. Er bewarb sich an der Moskauer Staatsuniversität, wurde jedoch abgelehnt. Obwohl er ein Top-Schüler und einer der ranghöchsten Teilnehmer der prestigeträchtigen Mathematikolympiade der Sowjetunion war, wurde ihm mitgeteilt, dass er seine mündliche Prüfung nicht bestanden habe. Die Prüfer weigerten sich, ihm zu sagen, wo er einen Fehler gemacht hatte.

Schließlich besuchte er die Universität Charkiw, eine der besten Hochschulen, die jüdische Studenten aufgrund ihrer Leistungen aufnahm. Sein Vater unterrichtete Fächer, die Studenten normalerweise nur an Moskauer Universitäten finden würden. (Moskau war das Zentrum des mathematischen Fortschritts in der Sowjetunion.) „Mein Vater bot mir damals eine einzigartige Gelegenheit … eine umfassendere Sicht auf die Mathematik zu bekommen“, sagte Lyubich. Insbesondere ermutigte ihn sein Vater, über Probleme komplexer Dynamiken nachzudenken – ein Bereich, der in der Sowjetunion überhaupt keine Beachtung fand. „Zu diesem Zeitpunkt sahen wir niemanden, der in diesem Bereich arbeitete“, sagte Lyubich. Er war schnell süchtig: In diesen Studienjahren begann er, „im Grunde ununterbrochen“ über Mathematik nachzudenken.

Obwohl er als Zweiter seines Jahrgangs abschloss, hatte er Schwierigkeiten, an weiterführenden Studiengängen teilzunehmen. Er landete mehr als 2,000 Meilen entfernt an der Staatlichen Universität Taschkent in Usbekistan, wo sein Vater Kollegen hatte. Er studierte weiterhin komplexe Dynamiken, isoliert von der Arbeit, die Douady und Hubbard in Frankreich leisteten, und war sich ihrer nicht bewusst. „Ich war irgendwie allein“, sagte er. „Es war ziemlich einsam.“

Universitätsstudenten mussten in den Herbstmonaten landwirtschaftliche Arbeiten verrichten. „Die Universitäten waren im Oktober und November im Wesentlichen leer“, sagte Lyubich. Und so pflückte er auf den Feldern außerhalb von Taschkent Baumwolle – Usbekistan war damals der wichtigste Baumwolllieferant der Sowjetunion. Von Sonnenaufgang bis Sonnenuntergang beugte er sich bei 90 Grad Hitze über die nur wenige Meter hohen Pflanzen. Er schätzte sich jedoch glücklich. Studenten mussten eine Quote erfüllen, die so hoch war, dass „Fähigkeiten erforderlich waren“, sagte er, und dass es sich um eine Knochenarbeit handelte, die „für mich nicht möglich gewesen wäre“. Doktoranden mussten das nicht.

Und so „lief ich einfach durch die Baumwollfelder und dachte über Mathematik nach“, sagte Lyubich. Insbesondere begann er, über den Parameterraum komplexer quadratischer Gleichungen nachzudenken.

Obwohl die ersten Computerbilder bereits im Westen aufgetaucht waren, hatte Lyubich keinen Zugriff darauf. Stattdessen nahmen in seinem Kopf die Grundmerkmale der Mandelbrot-Menge Gestalt an – der zentrale herzförmige Bereich des Fraktals, der als Hauptniere bezeichnet wird, und Aspekte des Rückgrats der Menge, das die Form horizontal entlang der Niere halbiert x-Achse. „Ich habe einfach ein Bild in meinem Kopf aufgebaut und versucht, es zu verstehen“, sagte er. „Ich hatte keine Ahnung, wie tiefgreifend die Fragen waren, die in diesem Bild verborgen waren.“

Im März 1982 – als Lyubich noch Doktorand war – John Milnor, einer der angesehensten amerikanischen Mathematiker seiner Generation (damals Professor am Institute for Advanced Study), besuchte Moskau, um einen Vortrag zu halten. Da die Universität flexibel war, wo Lyubich seine Zeit verbrachte, reiste er oft nach Moskau, um Seminare zu besuchen und sich mit dort arbeitenden Mathematikern zu treffen, solange er seine Prüfungen und seine Dissertation abschloss (und auch seinen Pflichten beim Baumwollpflücken nachging). Zufälligerweise war er dort, als Milnor ihn besuchte. Nachdem Milnor seinen Vortrag beendet hatte, unterhielten er und Lyubich sich noch eine Weile.

Aufgrund der Sprachbarriere schrieben sie die Dinge entweder auf oder ließen sich von einem Kollegen von Lyubich beim Übersetzen helfen. Lyubich wurde klar, dass entsprechende Arbeiten auf der anderen Seite des Eisernen Vorhangs stattfanden. „Es war mein erster Kontakt mit westlicher Mathematik in dieser Richtung“, sagte er.

Nach seiner Rückkehr nach Hause verbreitete Milnor einige von Lyubichs Forschungen. „Die Kommunikation war sehr schlecht, aber es war mein Glück, dass ich Milnor getroffen habe“, sagte Lyubich. Und so schickte Douady Lyubich später eine Kopie der Orsay-Notizen, in denen Lyubich zum ersten Mal vom MLC-Problem erfuhr.

Allerdings würde Lyubich erst in ein paar Jahren wirklich über MLC nachdenken. Er beschäftigte sich mit anderen Problemen, und nach Abschluss seiner Promotion im Jahr 1984 zogen er und seine Frau, ebenfalls Mathematikerin, nach Leningrad (heute St. Petersburg), wo ihm erneut akademische Tätigkeiten verwehrt blieben, weil er Jude war. In den nächsten fünf Jahren arbeitete er stattdessen als Gymnasiallehrer, als Programmierer an einem, wie er es nannte, „Quasi-Forschungsinstitut“ (mit Schwerpunkt auf Medizintechnik) und schließlich als Modellierer an einem wissenschaftlichen Institut, das umfassende Studien dazu durchführte die Arktis und Antarktis. Mit jedem neuen Job kam er der Möglichkeit, sich auf seine mathematischen Interessen an dynamischen Systemen zu konzentrieren, immer näher.

Während dieser Jahre arbeitete er weiter an seinen mathematischen Problemen. Er besuchte Seminare, traf sich mit anderen Mathematikern und lieferte weiterhin Ergebnisse. „Ich habe nie aufgehört“, sagte Lyubich. „Sehen Sie, wenn Sie aufhören, ist es sehr schwierig, sich zu erholen. Du solltest nicht aufhören.“

Es war anstrengend. Lyubich erinnert sich, dass er sich besonders erschöpft fühlte, nachdem er den ganzen Tag Oberstufenschüler unterrichtet hatte und sich dann dazu zwang, den Rest des Abends mit Mathematik zu verbringen. „Ich war frustriert, dass ich mich nicht voll und ganz der Mathematik widmen konnte, die ich eigentlich machen wollte“, sagte er. Aber „ich habe irgendwie für mich entschieden, dass ich Mathematik machen würde, egal was passiert.“

„Ich hatte Glück, dass die Perestroika kam und ich gehen durfte“, fügte er hinzu. „Ich weiß nicht, wie lange ich das durchhalten könnte.“ 1989 erhielten er und seine Frau ein Visum, das ihnen die Ausreise aus der Sowjetunion als Flüchtlinge erlaubte. Mit nur ein paar hundert Dollar in der Tasche machten sie sich zunächst auf den Weg nach Wien, dann nach Italien, wo sie einen Antrag auf Übersiedlung in die USA stellten. Nachdem er einige Monate in einem Flüchtlingslager in Italien verbracht hatte und auf die Bearbeitung seines Papierkrams wartete – während dieser Zeit verdiente sich Lyubich ein zusätzliches Einkommen, indem er Gastvorlesungen an örtlichen Universitäten hielt –, kamen er und seine Frau schließlich in New York an. Dort wartete auf Lyubich ein Job: Milnor (mit dem Lyubich Kontakt gehalten hatte) hatte ihn eingeladen, an dem neuen Institut für Mathematische Wissenschaften zu arbeiten, das er an der Stony Brook University gründen wollte.

Während seines Aufenthalts in Italien erhielt Lyubich zum ersten Mal Zugang zu E-Mails – und dort erhielt er eine E-Mail von Douady. (Douady war ein früher Befürworter der Nutzung von E-Mail für mathematische Diskussionen und Kooperationen. „Er arbeitete viel daran, Ideen mit weit entfernten Mitarbeitern auszutauschen, was in den 80er Jahren etwas Neues war“, sagte Pierre Lavaurs, einer seiner ehemaligen Doktoranden.)

Die E-Mail informierte Lyubich und andere Mathematiker auf diesem Gebiet darüber, dass Jean-Christophe Yoccoz die lokale Konnektivität an fast allen Punkten der Mandelbrot-Menge nachgewiesen hatte: MLC galt für Werte von c die sich nicht in einem unendlichen Nest kleinerer selbstähnlicher Kopien des gesamten Satzes befanden. (Yoccoz wurde später unter anderem für diese Arbeit mit der Fields-Medaille ausgezeichnet, die als höchste Auszeichnung der Mathematik gilt.)

In der E-Mail sagte Douady weiter, dass die vollständige Lösung für MLC unmittelbar bevorstehe. Er war nicht der Einzige, der optimistisch war. „Es gab Leute, die dachten, sie könnten die lokale Konnektivität der Mandelbrot-Menge in nur wenigen Jahren bewältigen“, sagte er Davoud Cheraghi des Imperial College London.

Stattdessen blieben jahrzehntelange Arbeit. MLC erwies sich als ein sehr subtiles, fast unmöglich schwieriges Problem, an dem nur eine Handvoll Mathematiker weiterarbeiten konnten. Dafür wären Werkzeuge aus allen Bereichen der Mathematik und die Entwicklung einer neuen Theorie erforderlich, die das Gebiet der komplexen Dynamik für immer verändern würde.

An der Spitze stand Ljubich, ausgestattet mit der Beharrlichkeit, die schon immer Teil seiner mathematischen Reise gewesen war.

Eine Stadt in einer Stadt

Wir neigen dazu, Mathematik als die reinste aller Wissenschaften zu betrachten – wenn wir sie überhaupt als Wissenschaft betrachten. Das Thema hat den Ruf, abstrakt, distanziert, von Schönheit und Logik getrieben zu sein. Es macht sich nicht die Hände schmutzig und beschäftigt sich nicht mit etwas so Konkretem wie „Anwendungen“. (Es steckt sogar im Namen: Wir unterscheiden „reine Mathematik“ von „angewandter Mathematik“.) Die Art und Weise, wie Mathematikarbeiten geschrieben werden, hilft nicht weiter: Normalerweise werden nur die endgültigen Beweise und Theoreme veröffentlicht, nicht der verschlungene Prozess, der zu ihnen geführt hat.

Dabei handelt es sich jedoch um eine moderne Auffassung von Mathematik, die sich erst im späten 19. Jahrhundert zu verfestigen begann. Diese Auffassung entstand, als Mathematiker versuchten, ihre Definitionen strenger zu gestalten, und als das Schreiben formaler Beweise für sie die einzige Möglichkeit wurde, Arbeit zu finden und Karriere zu machen. Es wurde in den 1930er Jahren weiter gestärkt, als eine mächtige, geheimnisvolle Gruppe von Mathematikern begann, gemeinsame Arbeiten unter dem Namen zu veröffentlichen Pseudonym Nicolas Bourbaki. Ihr Ethos dominierte das mathematische Denken und zielte darauf ab, die Disziplin auf ihre Grundlagen zu reduzieren und sie so formal wie möglich zu gestalten.

Doch schon lange davor verließen sich Mathematiker – genau wie Physiker, Biologen oder Chemiker – auf Experimente, um neue Phänomene zu entdecken und zu beweisen. Sie stellten Vermutungen an, verwarfen Hypothesen und suchten durch Versuch und Irrtum nach Mustern. Sie führten Berechnungen durch, machten Beobachtungen, sammelten Daten. Sie bemerkten Ähnlichkeiten, bestimmte Zahlen oder Abfolgen, die an unerwarteten Orten auftraten.

Die Giganten der Mathematik des 18. und 19. Jahrhunderts – Euler, Gauß, Riemann – waren allesamt Experimentatoren, die auf riesige Rechenmengen angewiesen waren, die mühsam von Hand durchgeführt wurden. Gauß vermutete den Primzahlsatz (eine entscheidende Formel, die beschreibt, wie die Primzahlen auf die ganzen Zahlen verteilt sind) ein Jahrhundert bevor er tatsächlich bewiesen wurde. Das liegt daran, dass er als Teenager über Tabellen mit Primzahlen gebrütet und beschlossen hat, zu zählen, wie viele davon es in Blöcken von tausend Zahlen bis hinauf zu einer Million gibt. (Gauß wäre für die heutigen Computer zweifellos dankbar gewesen.) In ähnlicher Weise stellte Riemann seine gleichnamige Hypothese, das größte offene Problem der Mathematik, erst auf, nachdem er seitenlange Berechnungen angestellt hatte. Diese Seiten wurden jahrzehntelang nicht entdeckt; Bis dahin priesen viele Mathematiker die Riemann-Hypothese als Beispiel dafür an, was durch „reines Denken allein“ erreicht werden könne.

Das gibt es nicht. Alles Denken, ob mathematisch oder anders, wird von der Welt um uns herum, von den Technologien und philosophischen Bewegungen und der Ästhetik unserer Zeit beeinflusst.

In dieser Hinsicht stellte Bourbakis Philosophie – ihr Anspruch auf absolute Strenge und ihre Betonung allgemeiner Aussagen gegenüber konkreten Beispielen – eine Art Umweg dar. Die Sicht der Mathematiker auf Bourbaki ist geteilt. Einige behaupten, es habe bestimmten Bereichen den dringend benötigten Anstoß zur Strenge gegeben. Andere sagen, es sei einengend und engstirnig gewesen und habe die Mathematik von anderen Inspirationsquellen abgeschnitten.

Seit den 1970er Jahren beginnt das Pendel zurückzuschwingen, angetrieben durch moderne Computer, die Mathematikern völlig neue Möglichkeiten zum Experimentieren und Spielen eröffnet haben. „Ich denke, die Leute sind sich im Allgemeinen einig, dass die Bourbaki-Sache eine Art Fehler war“, sagte Eilers. „Diese sehr abstrakte Sichtweise ist nicht so menschenfreundlich … so sollte sich das Fachgebiet einfach nicht weiterentwickeln.“

Im experimentellen Geist von Gauß und Riemann stellten Mathematiker eines der berühmtesten offenen Probleme unserer Zeit – die Birch- und Swinnerton-Dyer-Vermutung, eine Frage zu elliptischen Kurven, die, wenn sie gelöst wird, mit einer Belohnung von 1 Million US-Dollar einhergeht – erst nach der Verwendung eines Computers erzeugen Berge von Daten. Viele andere Probleme sind auf ähnliche Weise entstanden. „So wird die Wurst hergestellt“, sagte er Roland Röder der Indiana University–Purdue University Indianapolis. „Es ist nicht so beworben, wie es sein sollte.“

Mathematiker haben mithilfe von Computern nach Gegenbeispielen sowohl zu etablierten Vermutungen als auch zu entstehenden Hypothesen gesucht. Sie haben sie verwendet, um Fehler in alten Beweisen zu finden und zu beheben. Sie haben sich an sie gewandt, um neue Verbindungen zwischen unterschiedlichen Bereichen zu knüpfen. Und in vielen Bereichen verlassen sich Mathematiker mittlerweile auf Computer, um wichtige Berechnungen durchzuführen und andere Schritte im mathematischen Argument selbst durchzuführen.

Im Fall der Mandelbrot-Menge halfen Computer dabei, ein ganzes Feld in Gang zu bringen.

Um es Mathematikern zu sagen: Computer haben es ihnen ermöglicht, die Mandelbrot-Menge wie eine Stadt zu behandeln – einen physischen Raum, den es zu erkunden gilt. Sie haben Stunden, Tage, Jahre damit verbracht, durch die Viertel und Straßen zu schlendern, sich zu verirren und sich mit dem Gelände vertraut zu machen. „Man beginnt immer mehr zu verstehen, und jedes Mal, wenn man zurückkommt, ist es, als würde man nach Hause kommen“, sagte Luna Lomonaco vom Nationalen Institut für reine und angewandte Mathematik in Brasilien. „Es wird wirklich ein Teil von dir.“

Diese Vertrautheit wird deutlich, wenn man mit Mathematikern auf diesem Gebiet spricht. Sie navigieren problemlos durch verschiedene Computerprogramme und zoomen an bestimmte Stellen heran, um verschiedene Eigenschaften anzuzeigen. Dudko beschreibt diese Bilder als „wie eine Sprache in komplexer Dynamik“. Buff kann anhand des Aussehens bestimmter Zweige und Ranken genau vorhersagen, wo seiner Meinung nach eine kleine Kopie des Sets auftauchen wird, bevor sie sichtbar wird. Chéritat wurde einmal gebeten, ein Jahrzehnte altes Poster einer Region tief in der Mandelbrot-Menge ohne zusätzliche Informationen zu reproduzieren – und er tat es. Douady konnte sich anscheinend ein Julia-Set ansehen und wissen, welchen Wert es hat c in der Mandelbrot-Menge stammte es aus. Hubbard bezeichnet Julia-Sets immer noch als „alte Freunde“.

„Das Studium der Mandelbrot-Menge fühlt sich wirklich wie ein experimentelles Feld der Mathematik an. Es fühlt sich fast wie ein angewandtes Fachgebiet der Mathematik an, im Gegensatz zu einem reinen Fachgebiet der Mathematik“, sagte Kapiamba. „Man nimmt einfach etwas, das da draußen ist, und versucht dann, es zu zerlegen und zu analysieren, und zwar auf eine Art und Weise, die für mich das Gefühl hat, man wolle ein Naturphänomen aufdecken.“

„Es ist nichts, was man erschafft. Es ist etwas, das da ist und das man erforscht“, fügte Buff hinzu. „Es ist eindeutig auf meinem Computer vorhanden. Ich besuche die Mandelbrot-Menge. Und vielleicht gibt es einige Stellen in der Mandelbrot-Menge, die ich noch nicht entdeckt habe.“

Dieses Forschungsgebiet ist voller solcher Entdeckungen. Es wurden kleinere Kopien des Sets in sich selbst und spezifische Muster in der Art und Weise entdeckt, wie seine Fühler, Haare und andere Verzierungen aussehen. Es gab die Entdeckung der Fibonacci-Folge, die in der Menge kodiert ist – sowie eine Annäherung an $latex pi$. Und es gab die Entdeckung von Mandelbrot-Mengen in ganz anderen Zusammenhängen, etwa bei der Suche nach numerischen Lösungen für kubische Gleichungen.

„Computer zeigen uns Dinge, die verlockend sind und danach schreien, dass jemand kommt und sie erklärt“, sagte er Kevin Pilgrim der Indiana University Bloomington. Was wiederum die richtigen Fragen motiviert, wenn nicht sogar die richtigen Antworten.

Als Computer all diese kleineren Kopien der Mandelbrot-Menge in sich entdeckten, wollten Douady und Hubbard ihre Anwesenheit erklären. Am Ende wandten sie sich der sogenannten Renormierungstheorie zu, einer Technik, die Physiker verwenden, um Unendlichkeiten bei der Untersuchung von Quantenfeldtheorien zu zähmen und verschiedene Skalen bei der Untersuchung von Phasenübergängen zu verbinden. Bisher hatte es für Mathematiker wenig Interesse geweckt; Nach ihren Maßstäben war es nicht einmal streng.

Doch in den 1970er Jahren brachte der Physiker Mitchell Feigenbaum die Renormierungstheorie in die Welt der Dynamik und nutzte sie, um ein bestimmtes selbstähnliches Muster zu erklären, das entsteht, wenn man quadratische Gleichungen mit reellen Zahlen iteriert.

Douady und Hubbard erkannten, dass die Renormalisierung genau das war, was sie brauchten, um die komplizierteren selbstähnlichen Muster zu erklären, die sie auf ihren Computerbildschirmen sahen. Und so fanden sie heraus, wie man die Renormierungstheorie auf komplexe Dynamiken anwenden kann.

Seitdem hat die Arbeit von Lyubich und seinen Kollegen an MLC diese Theorie weiter vorangetrieben, als irgendjemand für möglich gehalten hätte.

Ein Name für jeden Punkt

Als Lyubich im Februar 1990, Monate nachdem er Moskau verlassen hatte, in New York ankam, hatte er die Gelegenheit, mehr über die Arbeit zu erfahren, über die Douady in seiner E-Mail so begeistert geschrieben hatte.

Zunächst war es nicht das MLC-Ergebnis, das Lyubich faszinierte, sondern die Techniken, die Yoccoz entwickelt hatte, um es zu beweisen. „Irgendwie hat es bei mir sehr gut gepasst“, sagte er. Er interessierte sich für reale Dynamiken und für die Beantwortung von Fragen, die sich aufgrund von Feigenbaums Arbeit zur Renormierung ergeben hatten. Die meiste Zeit der 1990er Jahre konzentrierte sich Lyubich darauf, die Methoden von Yoccoz weiterzuentwickeln, um diese offenen Probleme anzugehen. Am Ende des Jahrzehnts hatte er das Gefühl, dass er „mit Hilfe dieser Maschinerie im Wesentlichen die vollständige Beschreibung der Dynamik auf der realen Strecke erhalten hatte“, sagte er.

Als natürliche Konsequenz dieser Arbeit bewies Lyubich schließlich MLC für viele, wenn auch nicht alle Fälle, die Yoccoz‘ Ergebnis nicht abgedeckt hatte.

Das wäre keine Überraschung gewesen. Yoccoz‘ Beweis zeigte MLC für alle Punkte auf der Mandelbrot-Menge mit Ausnahme derjenigen, die als „unendlich renormierbare“ Parameter bekannt sind – Punkte, die in unendlich verschachtelten Baby-Mandelbrot-Kopien lebten. Sein Ergebnis machte MLC sofort zu einem Problem, das eng mit der Renormierungstheorie verbunden war.

Dieser Link war aufregend. Oberflächlich betrachtet schien MLC einer ganz anderen Ecke des Feldes anzugehören. „Die Renormierungstheorie hatte sich völlig unabhängig entwickelt“, sagte Lyubich. „Und dann wurde alles Teil derselben Geschichte.“

Und so wuchs auch in Lyubich das Interesse, das MLC-Problem anzugehen.

Schon bevor die Renormalisierung ins Spiel kam, gab es Anzeichen dafür, dass es sich bei MLC um eine Frage mit tieferen Resonanzen handelte.

In den Orsay-Notizen zeigten Douady und Hubbard, dass, wenn MLC wahr ist, es auch Auswirkungen auf die Eigenschaften des Inneren der Mandelbrot-Menge hat. Nicht jeder Punkt innerhalb der Menge verhält sich gleich. Punkte in der Hauptniere entsprechen Funktionen, die, wenn sie von einem Startwert von Null aus iteriert werden, zu einer einzigen Zahl konvergieren. Punkte in anderen Lappen entsprechen Funktionen, die letztendlich zwischen einer bestimmten Anzahl unterschiedlicher Werte schwanken. Die größte Keule auf der Hauptniere stellt beispielsweise Funktionen dar, die zwischen drei Werten oszillieren. Für sorgfältig ausgewählte Punkte könnte eine Funktion jedoch Sequenzen erzeugen, die begrenzt bleiben, aber nie oszillieren – sie springen ständig zwischen neuen, unterschiedlichen Werten.

Aber wenn MLC wahr ist, haben Douady und Hubbard gezeigt, dass solche nicht-oszillierenden Sequenzen selten sein müssen – eine Eigenschaft namens „Dichte der Hyperbolizität“, die Mathematiker für jedes dynamische System, das sie gerade untersuchen, beweisen oder widerlegen wollen. „Es ist im Grunde die wichtigste Frage in der Dynamik, nicht nur in der komplexen Dynamik“, sagte Lomonaco.

Die Hyperbolizitätsdichte befasst sich mit dem Inneren der Mandelbrot-Menge. Aber MLC würde es Mathematikern auch ermöglichen, jedem Punkt auf der Grenze der Menge eine Adresse zuzuweisen. „Es gibt jedem Punkt einen Namen. Und wenn man dann erst einmal in der Lage ist, jeden Punkt der Grenze der Mandelbrot-Menge zu benennen, kann man hoffen, sie wirklich vollständig zu verstehen“, sagte Hubbard.

Auf diese Weise teilt MLC den Mathematikern mit, dass dem Bild, das sie von der Menge haben, nichts fehlt. Aber ohne einen Beweis könnte es immer noch einige Regionen geben, versteckt in den tiefsten Ecken dieser unendlich komplexen Landschaft, die noch nicht auf Computerbildschirmen erschienen sind – die sich grundlegend anders verhalten. Das würde bedeuten, dass den Mathematikern immer noch ein Teil der Geschichte fehlt.

Denken Sie gründlich über einfache Dinge nach

Jeremy Kahn wuchs in den 1970er Jahren in New York City als Sohn eines Sozialarbeiters und eines Wissenschaftsjournalisten auf. Als Kind erwies er sich schnell als so etwas wie ein Mathe-Wunderkind. Er übersprang in diesem Fach Jahre. In der sechsten Klasse erreichte er im Mathematikteil des SAT eine Punktzahl von 790. Und er schrieb seine eigenen Computerprogramme, um verschiedene mathematische Konzepte eingehender zu untersuchen. Als er 13 Jahre alt war, war er (damals) der jüngste Mensch, der einen Platz im Team der Internationalen Mathematikolympiade der USA gewann. Während seiner gesamten Schulzeit nahm er am Wettbewerb teil und gewann zwei Silbermedaillen und zwei Goldmedaillen. Während dieser Zeit begann er auch, Mathematikkurse an der Columbia University zu belegen, und bewies mehrere Theoreme (ohne zu wissen, dass sie bewiesen worden waren) an einer Tafel, die er in seinem Schlafzimmer aufbewahrte.

Nach seinem High-School-Abschluss ging er an die Harvard University, um dort Mathematik zu studieren. Dort wurde er von der Mandelbrot-Menge fasziniert. In seinem letzten Jahr widmete er seine ganze Energie dem Verständnis. Da zu dieser Zeit niemand in Harvard daran arbeitete, fuhr er mit dem Fahrrad zur Boston University, um dort von einem Mathematiker etwas über Fraktale und dynamische Systeme zu lernen. Nach seinem Abschluss und der Einschreibung in ein Doktorandenprogramm an der University of California in Berkeley konzentrierte er sich auf die hyperbolische Geometrie – ein Gebiet, das Mathematiker zuvor mit komplexer Dynamik in Verbindung gebracht hatten, als die Mandelbrot-Menge erstmals populär wurde.

Kahn wollte diese Verbindung stärken. Als Doktorand bewies er Yoccoz‘ berühmtes MLC-Ergebnis erneut und baute dabei auf der wegweisenden Arbeit der Mathematiker auf Dennis Sullivan und Curt McMullen. Er begann auch darüber nachzudenken, wie Ideen aus der hyperbolischen Geometrie auf die Renormierung angewendet werden könnten.

Kahns Klassenkamerad Kevin Pilgrim Er erinnert sich, wie er riesige Blätter Papier mit Zeichnungen von Kurven und Ringen füllte, von geometrischen Objekten, die degenerierten und verzerrten. „Er begann sehr, sehr intensiv über diese Dinge nachzudenken“, sagte Pilgrim. „Und wenn ich ‚tiefgründig‘ sage, meine ich seit 15 Jahren.“

„Jeremys Hartnäckigkeit, wirklich gründlich über etwas nachzudenken, ist ziemlich erstaunlich“, fügte er hinzu.

Kahn dachte besonders intensiv über die Renormalisierung nach. Er studierte Lyubichs Werk sowie das von Douady und Hubbard.

In all diesen Kontexten ist Renormierung eine Möglichkeit, verschiedene Skalen eines dynamischen Systems miteinander in Beziehung zu setzen. Betrachten Sie die Dynamik einer quadratischen Gleichung. Punkte springen auf bestimmte Weise um die komplexe Ebene herum. Durch die Renormierung können Sie die Dynamik all dieser Punkte beschreiben, indem Sie sich nur auf eine kleine Teilmenge davon konzentrieren.

„Renormierung wirkt wie ein superstarkes Mikroskop, das es ermöglicht, Strukturen zu verstehen, die auf der tiefsten Ebene liegen“, sagte er Romain Dujardin der Universität Sorbonne in Frankreich.

Inwieweit Sie dies tun können, hängt von der Gleichung ab, die Sie iterieren. Manchmal kann man seine Dynamik einfach nicht als einen kleineren Teil des Systems beschreiben. Oder Sie können das Mikroskop der Renormierung nutzen, um die Dinge einmal, zweimal oder zehnfach zu vergrößern, bevor Sie einen Punkt erreichen, an dem Sie über die kleineren Maßstäbe nichts Aussagekräftiges mehr sagen können.

Aber für die Funktionen, die mit unendlich renormierbaren Parametern verknüpft sind, ist es möglich, die Renormierung für immer anzuwenden.

Es ist ein heikles Verfahren. „Das kann nicht auf zufällige Weise geschehen“, sagte Lyubich. Sie müssen rigoros nachweisen, dass Sie von einer Skala zur anderen wechseln können, ohne zu viel Präzision einzubüßen.

Der erste Schritt dazu besteht darin, eine grobe Kontrolle über die Geometrie der verschiedenen Maßstäbe zu erlangen. Mit diesem Schritt kann dann der MLC für einen bestimmten Wert angezeigt werden c in der Mandelbrot-Menge.

Als Doktorand dachte Kahn bereits darüber nach, wie er sein Wissen über hyperbolische Geometrie auf das Problem anwenden könnte. Seine Forschung erregte Aufmerksamkeit und in seinem dritten Jahr an der Graduiertenschule nahm er eine unbefristete Stelle am California Institute of Technology an.

Alles schien perfekt zusammenzupassen.

Und dann erstarrte er.

Am Caltech konnte er nicht schreiben. Er hatte Ergebnisse aus seiner Zeit in der Graduiertenschule – aber jedes Mal, wenn er sich an einen Computer setzte, verlor er jegliche Willenskraft, die er hatte. „Ich war nicht gut im Schreiben“, sagte er. „Ich war nicht einmal gut darin, mich zum Schreiben hinzusetzen. Also habe ich das Zeug nicht aufschreiben lassen.“ (Obwohl er seitdem viele Arbeiten veröffentlicht hat, hat er einige dieser frühen Arbeiten erst kürzlich zur Veröffentlichung eingereicht.)

Er konnte seine mathematische Aufmerksamkeit auch nicht konzentrieren. „Manchmal verfiel ich in die Extreme, wirklich großartige Theoreme wie MLC oder P versus NP beweisen zu wollen. Und dann würde ich in die Realität zurückkehren“, sagte er. „Ich war verloren und unglücklich.“

In vier Jahren am Caltech hat Kahn keine einzige Arbeit geschrieben. Er hat seine Arbeit verloren.

Und so, im Herbst 1998, mit knapp 30 Jahren, als seine einst vielversprechende Karriere in Trümmern lag, „wanderte ich sozusagen zurück nach Hause“, nach New York, sagte Kahn.

Er rief Milnor an und bat um Rat. Milnor brachte ihn wieder in Kontakt mit Lyubich, den Kahn während seines Studiums einige Male getroffen hatte. Und so: „Ich bin gerade in Stony Brook aufgetaucht“, sagte Kahn. „Misha war unglaublich herzlich.“ Die beiden diskutierten stundenlang über Mathematik. Kahn erinnert sich, dass er die ganze Zeit zu Lyubichs Haus ging und mit seiner Familie zu Abend aß – damals hatten Lyubich und seine Frau eine Tochter; Sie hatten später eine zweite Beziehung – und wurden bald Freunde. „Er hat mich wirklich in seinen Bann gezogen“, sagte Kahn. „Er war dieser weltberühmte Mathematiker und er behandelte mich wie ein gleichberechtigtes Kind und nicht wie ein verlorenes Kind.“

„Er wurde für mich praktisch ein zweiter Vater“, fügte er hinzu.

Lyubich fand eine vorübergehende Stelle für Kahn in Stony Brook, ohne Lehrpflichten. Von Ende der 1990er bis Mitte der 2000er Jahre half Lyubich dem jungen Mathematiker aus. Als Lyubich ein Jahr lang an der University of Toronto arbeitete, fand er einen Platz für Kahn; Als er nach Stony Brook zurückkehrte, tat er dasselbe. Als Kahn die akademische Welt verließ, um ein Jahr lang bei einem Hedgefonds zu arbeiten, nur um zu entscheiden, dass das nichts für ihn war, half ihm Lyubich erneut. Als bei Kahns Vater Krebs diagnostiziert wurde und er später starb, konnte Kahn nicht arbeiten. Aber schließlich kehrte er nach Ljubich zurück und Ljubich hieß ihn willkommen.

Als er Lyubich das erzählen hörte, erkannte er, dass Kahn sehr interessante, manchmal brillante Ideen hatte. „Er hatte einfach diese psychologische Blockade, die er überwinden musste“, sagte Lyubich. „Also habe ich ihn weiterhin so gut wie möglich unterstützt.“

Obwohl sich Kahn in diesen Jahren immer noch oft verloren fühlte, entwickelten er und Lyubich eine „ziemlich intensive Zusammenarbeit“, wie Kahn es nannte. Es hielt ihn auf dem Boden. Die beiden Mathematiker vereinheitlichten ihre Ansätze zur Renormierung, wodurch sie MLC auch für viele weitere Parameter beweisen konnten.

„Der Zusammenbruch meiner Karriere gab mir die Gelegenheit, Mischa einfach überallhin zu folgen“ und diese Arbeit zu erledigen, sagte Kahn. „Es wurden viele Elemente des Lebens aufgeschoben, nicht absichtlich, sondern tatsächlich, um diese Theoreme zu beweisen.“

Die Arbeit von Kahn und Lyubich markierte einen gewaltigen Durchbruch in der Renormierungstheorie und im MLC. Aber „die Mandelbrot-Menge ist enorm umständlich“, sagte Lyubich, weil sie nicht gerade selbstähnlich ist und verschiedene Arten von Selbstähnlichkeit aufweist. Wie Avila es ausdrückte: „Es hat unterschiedliche Persönlichkeiten, wenn man sich darin bewegt.“ Diese verschiedenen Arten der Selbstähnlichkeit entsprechen sehr unterschiedlichen Dynamiken und erfordern daher unterschiedliche Arten der Renormierung, um eine Skala mit einer anderen in Beziehung zu setzen.

Kahn und Lyubich hatten einen Typ entwickelt, aber sie hatten ihre Techniken so weit wie möglich vorangetrieben. „Sie stießen gegen eine Wand und wussten, dass sie gegen eine Wand stoßen würden“, sagte Mukherjee.

Um MLC für andere Teile der Mandelbrot-Menge zu beweisen, müssten sie eine ähnliche Art der geometrischen Kontrolle erhalten, aber eine andere Art – oder Arten – der Renormierung verwenden.

Und Kahn und Lyubich waren sich nicht einig, wie sie am besten vorgehen sollten.

Der Fortschritt kam ins Stocken.

Sie begannen jeweils, an anderen Problemen zu arbeiten. Kahn wandte sich wieder der hyperbolischen Geometrie zu. Lyubich dachte darüber nach, wie er die MLC-Arbeit auf andere Teile der komplexen Dynamik (und sogar auf Fragen der Physik) anwenden könnte.

„Deshalb steckt man in gewisser Weise nie wirklich fest“, sagte Lyubich, der 2004 Direktor des Stony Brook Institute for Mathematical Sciences wurde. „Wenn morgen jemand einen einzeiligen Beweis für MLC in allen Fällen finden würde, würde das alles zunichte machen, was wir bisher getan haben? Nein. Es gibt so viele Probleme, die auf dieser Technik beruhen.“

Das ist einer der Gründe, warum er nie frustriert war, wenn die Dinge an der MLC-Front nicht ganz so reibungslos zu laufen schienen. „Jeder Schritt im MLC öffnet den Weg zu vielen anderen Problemen“, sagte er.

Unterdessen machte Kahn bedeutende Fortschritte in der hyperbolischen Geometrie. Es begannen Tenure-Angebote einzugehen. In der Hoffnung auf einen Neuanfang zog er 2011 nach Providence, Rhode Island, um eine Professur an der Brown University anzunehmen.

Weder Lyubich noch Kahn hörten auf, an MLC zu denken, aber sie trennten sich voneinander und waren mit ihren eigenen Aufgaben beschäftigt.

Andere Mathematiker, die sich mit komplexer Dynamik beschäftigten, begannen, sich in andere Richtungen zu bewegen – sie konzentrierten sich auf Parameterräume, die noch komplizierter als die Mandelbrot-Menge waren, und auf die Verbindung zwischen komplexer Dynamik und Zahlentheorie.

Aber in den letzten Jahren haben Lyubich und Kahn jeweils Auszubildende eingestellt und ihre Bemühungen, MLC zu beweisen, erneuert.

Aufrichten

Vor etwa einem Jahrzehnt begann Lyubich mit Dima Dudko zusammenzuarbeiten.

Dudko wuchs in den 1980er Jahren in Weißrussland auf, wo seine mathematischen Fähigkeiten für die Menschen um ihn herum schnell offensichtlich wurden. (Er vertrat Weißrussland bei der Internationalen Mathematikolympiade 15 Jahre nach Kahns Alter. Wie Kahn gewann er eine Goldmedaille.) Später, als er ein Doktorand in Deutschland war, beriet sein Berater Lyubich darüber, an welchem ​​Problem Dudko für sein Problem arbeiten sollte Dissertation. Sie entschieden sich für eine Frage zur Mandelbrot-Menge, von der sie nicht erwarteten, dass Dudko sie beantworten könnte. Die Anweisung würde automatisch aus MLC folgen; Sie gingen davon aus, dass er ohne die Hilfe von MLC bestenfalls teilweise Fortschritte machen könnte.

Dudko hat einen Weg gefunden, MLC zu umgehen und das Problem vollständig zu lösen.

Nach Abschluss seines Graduiertenstudiums im Jahr 2012 arbeitete er weiterhin als Postdoc in Deutschland – begann aber auch mit Lyubich zusammenzuarbeiten. Mit einem dritten Mathematiker, Nikita Selinger von der University of Alabama, Birmingham, entwickelten sie eine neue Renormierungstheorie. Lyubich und Dudko verwendeten es dann, um zu zeigen, dass MLC für einige der schwierigsten unendlich renormierbaren Parameter in der Mandelbrot-Menge gilt – genau diejenigen, auf die die Methoden von Lyubich und Kahn nicht angewendet werden konnten. (Lyubichs ehemaliger Student Davoud Cheraghi und Mitsuhiro Shishikura von der Universität Kyoto haben ebenfalls Techniken entwickelt, um einige dieser herausragenden Fälle anzugehen.)

„Dieser Fall ist so anders, dass es noch ein paar Jahrzehnte gedauert hat“, sagte Lyubich. Es bedurfte auch einiger origineller Überlegungen. Dudko, der kürzlich das MLC-Seminar mit Lyubich in Dänemark leitete, gilt als Star auf diesem Gebiet und hat eine faszinierende Sichtweise auf die Dinge. Dies lässt sich vielleicht am besten dadurch veranschaulichen, dass er die Mandelbrot-Menge manchmal als eine Ansammlung von Quadraten skizziert und nicht als Kreise, die die meisten Mathematiker zeichnen.

„Es hat mich überrascht, dass es möglich ist, diese Probleme zu lösen“, sagte Lyubich. „Was wir in letzter Zeit getan haben, geht über alles hinaus, was ich zuvor getan habe.“

Um alle diese Ergebnisse an einem Ort zusammenzuführen, hat Lyubich eine Reihe von Lehrbüchern über die Mandelbrot-Menge, MLC und verwandte Arbeiten zur komplexen Dynamik geschrieben. Bisher hat er über 700 Seiten verfasst, aufgeteilt in zwei der geplanten vier Bände. „Wenn ich mit Band 4 fertig bin, wird MLC hoffentlich da sein“, sagte er.

Wie Lyubich hat auch Kahn einen jüngeren Schützling gefunden. Die Idee, Alex Kapiamba zu rekrutieren, kam Kahn zunächst im Traum. Er war 2019 auf einer Konferenz. Mehrere Monate lang hatten er, Lyubich und Dudko sich regelmäßig getroffen, um die Fortschritte bei MLC zu besprechen – etwas, das sich sofort in dem Traum widerspiegelte, in dem die drei in einem Bus saßen. „Und dann sehe ich, wie diese vierte Person in den Bus steigt, und das ist im Wesentlichen der ganze Traum“, sagte Kahn. „Und dann wache ich auf und denke: Alex Kapiamba ist diese vierte Person.“

Am nächsten Tag verabredete er sich mit Kapiamba, um seine Forschung zu besprechen. Kapiamba arbeitet jetzt als Postdoc bei Brown mit Kahn zusammen und wird im Herbst nach Harvard wechseln.

Als ich Kapiamba letztes Jahr traf, war sein Arm in einer Schlinge; Er hatte sich ein paar Tage zuvor beim Ultimate Frisbee die Schulter ausgerenkt. (Während seines Studiums spielte er semiprofessionell für die Detroit Mechanix und spielt weiterhin in einer Clubliga.) Er äußerte sich bescheiden darüber, wie viel er seiner Meinung nach zu den MLC-Bemühungen beitragen könnte. „Es ist irgendwie ein bisschen beängstigend“, sagte er. „Ich verspüre definitiv ein Hochstapler-Syndrom.“

„Ich möchte einfach einsteigen und ein wenig tun, bevor es zu spät ist“, fügte er hinzu.

Kapiamba hatte sich nicht vorgenommen, Mathematik zu studieren. Als Student am Oberlin College in Ohio begann er mit dem Hauptfach Biochemie; Erst am Ende seines Juniorjahres, nachdem er einen Topologiekurs belegt hatte, wuchs sein Interesse an Mathematik. „Was mir in der Biochemie besonders gefallen hat, war das Verständnis der Struktur der Dinge“, sagte Kapiamba. „Und Mathematik ist eigentlich nur der Versuch, Struktur in ihrer reinsten Form zu studieren. Es fühlte sich wirklich so an, als wären es die Teile der Biologie oder Chemie, die mir wirklich Spaß machten, in einer reinen Form destilliert. Diesen Teil könnte ich einfach übernehmen.“

Nach seinem Abschluss im Jahr 2014 war er sich nicht sicher, was er tun wollte. Er zog nach Washington, D.C., um in der Nähe seiner Familie zu sein, und fand Jobs in einer Bäckerei und als Nachhilfelehrer. Während dieser Zeit begann er über eine Karriere als Mathematiker nachzudenken. Bald gab er seinen Job als Bäcker auf und gab in den nächsten zwei Jahren weiterhin Nachhilfe, während er in seiner Freizeit Mathematik auf höherem Niveau studierte – indem er den Stoff wiederholte, den er während seiner Studienzeit gelernt hatte („um einen anderen Blickwinkel zu gewinnen“). sagte er) und Online-Kurse belegen. „Ich wollte mich gut vorbereitet fühlen“, sagte er. Im Jahr 2016 schrieb er sich für ein Masterstudium an der University of Michigan ein.

Als Masterstudent begann er mit der Arbeit an einer Frage zur Geometrie des Mandelbrot-Sets in der Nähe der Spitze seiner Hauptniere, wo eine Elefantenparade aus einem flachen Tal marschiert. Wenn man sich dem Tal nähert, scheinen die Elefanten immer näher zusammenzurücken. Man vermutet daher, dass der Abstand zwischen den Elefanten auf Null schrumpft, wenn man sich dem tiefsten Punkt des Tals nähert. „Das dachte ich mir natürlich“, sagte Kapiamba und zeigte auf seinen Computerbildschirm, auf dem er die Elefanten vergrößert hatte, damit ich sie sehen konnte. Es sah tatsächlich so aus, als würden sie sich berühren.

Ein wesentlicher Teil seiner Argumentation beruhte auf einer beiläufigen Bemerkung in einer alten Doktorarbeit. Die 73 Seiten umfassende, vollständig auf Französisch verfasste Dissertation wurde 1989 fertiggestellt, aber nie veröffentlicht. Sein Autor hatte die Mathematik nur ein Jahr später verlassen, nachdem er desillusioniert und frustriert über das Problem geworden war, das er zu lösen gehofft hatte: MLC.

Kapiamba durchforstete den Text und verirrte sich oft darin, ohne zu merken, dass die Uhr längst nach Mitternacht tickte, und verließ sich dabei auf das Französisch, das er aus der High School kannte, und auf Google Translate. Er beklagte, dass er nicht dazu erzogen worden sei, Französisch zu sprechen. Sowohl sein Vater, der aus der Demokratischen Republik Kongo stammt, als auch seine Mutter, die ihn dort während seines Dienstes im Friedenskorps kennengelernt hatte, sprachen fließend die Sprache. Doch das Paar war kurz vor Kapiambas Geburt nach Maryland gezogen und um seinem Vater dabei zu helfen, so schnell wie möglich Englisch zu lernen, sprachen sie zu Hause nur Englisch.

Schließlich wurde Kapiamba klar, dass er einen Schritt in der Logik der Dissertation nicht verkannt hatte. Sein Autor hatte einen Fehler gemacht. Seine Behauptung war wahrscheinlich richtig, aber die Begründung dahinter hielt nicht stand. Und so machte sich Kapiamba das Ziel, den Fehler zu beheben.

Er lässt die Dinge köcheln, so wie er darauf wartet, dass das Brot aufgeht. (Er backt immer noch, um seinen Geist zu fokussieren. Er genießt die Gelegenheit, die es ihm bietet, etwas mit seinen Händen zu machen.) Im Laufe der nächsten Jahre fand er schließlich den Beweis. Dazu musste er einen Satz über die Größe der Elefanten verstärken, den Yoccoz in seinem ursprünglichen MLC-Beweis verwendet hatte.

Die Arbeit überraschte die Complex Dynamics-Community völlig. Computerbilder hatten bereits gezeigt, dass bestimmte Bereiche der Mandelbrot-Menge viel, viel schneller zu schrumpfen schienen, als Yoccoz‘ Theorem vermuten ließ, was bedeutete, dass seine Aussage untermauert werden könnte. „Wenn man nur ein paar Bilder zeichnet und sie sich ansieht, sieht man, oh, es scheint, als ob die Fesselung, die Yoccoz uns gibt, sehr, sehr schlecht ist“, sagte Kapiamba. Aber niemand hatte es geschafft, es zu verbessern.

Bis Kapiamba. Seine Arbeit galt nur für bestimmte Regionen in der Mandelbrot-Menge; Mathematiker hoffen, dass die stärkere Version von Yoccoz‘ Aussage für die gesamte Menge gezeigt werden kann. Trotzdem „waren die Leute wirklich aufgeregt“, sagte Benini. „Jeder, der daran arbeitet, weiß, dass das wahr sein muss; Sie wussten einfach nicht, wie sie es beweisen sollten.“

Lomonaco und andere Mathematiker haben Kapiambas Ergebnis bereits genutzt, um ihre eigenen Theoreme zu beweisen. Aber es wird auch als potenzieller Dreh- und Angelpunkt für einen zukünftigen Beweis von MLC angesehen.

Ein Labor und ein Leitfaden

Die letztjährige Konferenz war das letzte Mal, dass sich Mathematiker auf dem alten Militärstützpunkt in Dänemark trafen. Die Universität Roskilde, die die Workshop-Reihe sponsert, hat in diesem Jahr ihren Mietvertrag für den Standort aufgegeben.

Wenn Lyubich, Kahn, Dudko und Kapiamba ihre unterschiedlichen Ansätze kombinieren können, um MLC endgültig zu beweisen, wird dies das Ende einer anderen Ära markieren – einer Ära, die begann, als Mandelbrot, Hubbard und Douady das Fraktal zum ersten Mal auf ihren Computerbildschirmen sahen.

Das letzte halbe Jahrhundert der Erforschung der Mandelbrot-Menge wurde durch die Entwicklung der Computergrafik ermöglicht. Die Mathematik, die das Fraktal erzeugt, ist einfach: Sie müssen eigentlich nur wissen, wie man addiert und multipliziert. Aber die Zeichnungen, die das Set berühmt machten, konnten nicht von Hand angefertigt worden sein. Sie waren darauf angewiesen, diese einfachen Berechnungen millionenfach durchzuführen, was ohne Computer nicht möglich wäre.

Im Prinzip könnte ein visionärer Mathematiker vor Hunderten von Jahren einen Schnappschuss des Sets vor seinem geistigen Auge gehabt haben. Aber im Laufe der Geschichte hat die Technologie das, was man sich vorstellen kann, moduliert, auch wenn das Genie manchmal einen Blick über den Horizont werfen kann. Fatou beispielsweise „war in der Lage, Vermutungen zu formulieren, ohne die Mandelbrot-Menge gesehen zu haben“, sagte Buff. Aber Fatou konnte nur bis zu einem gewissen Punkt gehen. So mächtig seine Vorstellungskraft auch gewesen sein mag, unter der Mandelbrot-Menge wirbelt eine Welt voller Reichtümer, die für ihn unzugänglich war, für den heutigen Durchschnittsmenschen jedoch leicht sichtbar ist.

Lyubich verwendet in seiner Arbeit normalerweise keine Computer. „Meine Denkweise ist sehr visuell“, sagte er. „Es ist sehr geometrisch. Ich denke in Bildern – aber ich zeichne einfach mehr oder weniger primitive Bilder, von Hand oder in meinem Kopf. Ich benutze Computer nie in nennenswertem Umfang.“ (Er scherzt, dass vielleicht der Programmierjob, den er kurz vor seiner Emigration in Leningrad innehatte, daran schuld sei. „Das hat mich abgestoßen“, sagte er.) Dennoch lebt er in einer Welt voller Computer. Zurück auf den Baumwollfeldern Usbekistans kam auch er nur so weit, indem er seiner Fantasie freien Lauf ließ. „Es waren Douady und Hubbard, die die nächste Ebene der Tiefe erkannten“, sagte er – mithilfe der in den 1980er Jahren verfügbaren Computer. In den darauffolgenden Jahrzehnten hat Lyubich erlebt, wie seine Mitarbeiter Computer als Labor und als Leitfaden nutzten. Er erinnert sich, dass Milnor in seiner einzigen gemeinsamen Arbeit mit Milnor mehrere Computerexperimente durchführte, um ihre Beweise in die richtige Richtung zu lenken. Und Dudko kehrt während der Arbeit mit Lyubich immer wieder an den Computer zurück. „Er ist sehr gut darin, das, was er sieht, zu interpretieren“, sagte Lyubich, „um diese Bilder in mathematische Sprache zu übersetzen und sehr tiefgründige Vermutungen zu formulieren.“

Galileo entdeckte die Jupitermonde nicht nur, weil er die richtige Theorie entwickelt hatte, um dem, was er sah, einen Sinn zu geben, sondern weil er ein Teleskop besaß. Ebenso gibt es ganze Teile des mathematischen Universums, die verborgen bleiben, bis der technologische Wandel sie sichtbar macht. Sie können mit reinem Denken ebenso wenig entdeckt werden, wie die Monde des Jupiter durch Blinzeln erkannt werden können.

Wenn die Computerrevolution der 1970er und 80er Jahre den Kontinent der Mandelbrot-Menge für die Erforschung öffnete, könnten Mathematiker heute an der Schwelle zu einem weiteren solchen Wendepunkt stehen. Künstliche Intelligenz wird erst jetzt eingesetzt, um substanzielle Vermutungen zu formulieren und bedeutsame mathematische Ergebnisse zu beweisen. Es ist schwer – vielleicht sogar unmöglich –, sein Potenzial mit Zuversicht einzuschätzen. („Wir müssen versuchen, ein neuronales Netzwerk so zu trainieren, dass es die Mandelbrot-Menge umkreist“, scherzte Kapiamba.) Aber wenn die Geschichte der Mandelbrot-Menge eine davon ist, wie Mathematiker reine Gedanken nutzen können, um einen Blick auf die durch die Technologie eröffneten Perspektiven zu werfen , das nächste Kapitel muss noch geschrieben werden.

„Ich hatte nie das Gefühl, dass meine Fantasie reich genug wäre, all diese außergewöhnlichen Dinge zu erfinden“, sagte Mandelbrot einmal. „Sie waren da, obwohl sie vorher niemand gesehen hatte.“